洛谷 P3197 [HNOI2008]越狱（快速幂）

传送门

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题目描述

监狱有连续编号为1…N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱。

输入输出格式

输入格式：
输入两个整数M，N。1<=M<=10⁸，1<=N<=10¹²

输出格式：
可能越狱的状态数，模100003取余

输入输出样例

输入样例：
2 3

输出样例：
6

说明

6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

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这是一道长得很DP的快速幂。

第一个犯人能信m种宗教，为了不与第一个犯人的宗教重复，第二个犯人只能信m-1种宗教，为了不与第二个犯人的宗教重复，第三个犯人也只能信m-1种宗教，如此类推……

因此我们用所有方案数 mⁿ 减去合法的方案数 (m-1)^n-1 即可得到不合法的方案数，也就是答案。

于是我们很开心地开始敲代码，敲吧，TLE在等着你呢（哈哈）。

再看一看题目，好像有什么不对的地方……

1<=M<=10⁸，1<=N<=10¹²

所以这里需要快速幂
在求 aⁿ 之前，我们可以先求出 a^n÷2，因为 aⁿ = a^n÷2 × a^n÷2
这样一直分割下去，我们就可以得到一个O(log(n))的算法，也就是上面说的快速幂。

代码就是这样：

long long ans=1;
while(y>=1)
{
    if(y&1) ans=ans*x;
    x=x*x;
    y>>=1;
}

可是我们还要加mod
于是代码就变成了这样

long long ans=1;
while(y>=1)
{
    if(y&1) ans=ans*x;
    x=x*x;
    y>>=1;
}

没错，快速幂就是这么简单（啦啦啦啦）

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Code:

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define MOD 100003
#define LL long long

LL n,m;

inline LL q(LL x,LL y)
{
    LL ans=1;
    x%=MOD;
    while(y>=1)
    {
        if(y&1) ans=ans*x%MOD;
        x=x*x%MOD;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%lld %lld",&m,&n);
    printf("%lld",((q(m,n)-m*q(m-1,n-1)%MOD)%MOD+MOD)%MOD);
}