洛谷 P3374 树状数组1

本文介绍了一道关于树状数组的经典算法题,通过实例详细解释了树状数组的工作原理及其实现方式,并提供了完整的代码示例。

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题目描述

如题,已知一个数列,你需要进行下面两种操作:

1.将某一个数加上x

2.求出某区间每一个数的和

输入输出格式

输入格式:

第一行包含两个整数N、M,分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数,其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含3个整数,表示一个操作,具体如下:

操作1: 格式:1 x k 含义:将第x个数加上k

操作2: 格式:2 x y 含义:输出区间[x,y]内每个数的和

输出格式:

输出包含若干行整数,即为所有操作2的结果。

输入输出样例

输入样例:

5 5
1 5 4 2 3
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2

2 1 4

输出样例:

14

16


说明

时空限制:1000ms,128M

数据规模:

对于30%的数据:N<=8,M<=10

对于70%的数据:N<=10000,M<=10000

对于100%的数据:N<=500000,M<=500000

样例说明:

题解

树状数组模板题改点求段啦,至于树状数组,就是下面这个东西:

由于长的像树,于是就取名叫树状数组啦。

树状数组的作用是维护和查询。常见的题目有改点求段,改段求点,改段求段等。

图中的 a 数组就是我们用来维护和查询的数组,b 数组是初值,在实现的代码里是没有用处的。

树状数组的关键操作是lowbit。

lowbit(x)=x & -x; ( -x 就是把 x 按位取反后+1)

lowbit(x)的作用是找到二进制下 x 中最后一个 1 的位置。

如果把树状数组比作老板和员工,那么 x+lowbit(x) 表示的就是比 x 高一级的他的上司,x-lowbit(x) 表示的就是编号在 x 前的第一个不是 x 的下属的人。

于是在我们修改点 x 的值时,只需要从 x 开始不停地往上找 x+lowbit(x),修改便是。

而对于求和,我们定义 sum(x) 返回的是 1~x 的和。就是从 x 开始不停地往下找 x-lowbit(x) ,并且累加。

当我们求 x~y 段的和时,只需要输出 sum(y)-sum(x-1) 即可。

Code:

#include<cstdio>
#include<cstdlib>

int tr[500010];
int n,m;

int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}

void add(int x,int k)
{
    while(x<=n)
    {
        tr[x]+=k;
        x+=lowbit(x);
    }
}

int sum(int x)
{
    int ans=0;
    while(x!=0)
    {
        ans+=tr[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        add(i,x);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int p,x,y;
        scanf("%d %d %d",&p,&x,&y);
        if(p==1) add(x,y);
        if(p==2) printf("%d\n",sum(y)-sum(x-1));
    }
}
### 关于洛谷平台上的树状数组问题及其解法 #### 树状数组简介 树状数组(Binary Indexed Tree 或 Fenwick Tree)是一种用于高效处理前缀和查询以及单点更新的数据结构。它的时间复杂度为 \(O(\log n)\),空间复杂度为 \(O(n)\)[^1]。 #### 洛谷上常见的树状数组问题分类 以下是基于引用内容总结的一些常见问题类型: 1. **基本操作** - 单点修改与区间求和:这是最基础的树状数组应用之一,通常涉及 `update` 和 `getsum` 函数的设计[^3]。 - 实现方式如下所示: ```cpp int lowbit(int k) { return k & (-k); } void update(int p, int k) { while (p <= n) { a[p] += k; p += lowbit(p); } } int getsum(int p) { int res = 0; while (p) { res += a[p]; p -= lowbit(p); } return res; } ``` 2. **扩展功能** - 处理多维数据:通过拆分维度或将高维映射到一维的方式解决更复杂的场景[^3]。 - 动态维护序列中的某些统计信息,例如逆序对数量计算[^2]。 #### 经典题目解析 ##### 题目1: P3374 树状数组1(线段树/树状数组模板) 此题要求实现一个支持单点修改和区间查询的功能模块。具体来说,给定长度为 \(n\) 的数组,需完成以下两种操作: - 将位置 \(x\) 上的值增加 \(y\)[^1]; - 查询从第 \(1\) 到第 \(x\) 所有数值之和。 解决方案可以直接采用上述提到的基础函数框架,并注意初始化部分细节处理。 ##### 题目2: P3368 树状数组模板2 相比前者增加了批量修改的能力——允许指定一段连续范围内的增量调整动作而不仅仅是单一索引处的变化。此时除了常规增删改查外还需要额外考虑边界条件管理以免越界访问错误发生。 ```cpp if(q == 1){ cin >> x >> y >> z; update(x, z); // Apply change at start point. update(y + 1, -z); // Revert effect after end position. } else{ cin >> x; cout << getsum(x) << endl; } ``` 以上片段展示了如何优雅地应对这种情形下的逻辑分支设计思路。 --- #### 总结建议 学习过程中应注重理解核心概念而非死记硬背代码形式;同时也要善于借助实际案例加深印象巩固知识点掌握程度。另外值得注意的是,在面对不同类型的输入规模时可能需要适当优化算法性能表现才能满足时限约束的要求。
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