综合问题
![![[Pasted image 20251120085656.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/4a1bac09211f4a7598a4c6fe929d1693.png)
解：(1) (1−23−401−1104−31)→(1−23−401−11001−3)→(1001010−2001−3), 基础解系为 (−1231)\begin{aligned} &\text{解：(1)}\ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 4 & -3 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \end{pmatrix},\ \text{基础解系为}\ \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \end{aligned}解：(1) 100−2143−1−3−411→100−2103−11−41−3→1000100011−2−3, 基础解系为 −1231
(2) (1−23−4∣10001−11∣010120−3∣001)→(1−23−4∣10001−11∣01004−31∣−101)→(1−23−4∣10001−11∣010001−3∣−1−41)→(1−205∣412−3010−2∣−1−31001−3∣−1−41)→(1001∣26−1010−2∣−1−31001−3∣−1−41)对 Aβ1=(100)，对应 (1001∣2010−2∣−1001−3∣−1), 通解为 P1=c1(−1231)+(2−1−10)=(2−c1−1+2c1−1+3c1c1), c1∈R对 Aβ1=(010)，对应 (1001∣6010−2∣−3001−3∣−4), 通解为 P1=c2(−1231)+(6−3−40)=(6−c2−3+2c2−4+3c2c2), c2∈R对 Aβ1=(001)，对应 (1001∣−1010−2∣1001−3∣1), 通解为 P1=c3(−1231)+(−1110)=(−1−c31+2c31+3c3c3), c3∈R\begin{aligned} &(2)\ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 & \bigm| & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & \bigm| & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -3 & \bigm| & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 & \bigm| & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & \bigm| & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & -3 & 1 & \bigm| & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &\to \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 & \bigm| & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & \bigm| & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & \bigm| & -1 & -4 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 5 & \bigm| & 4 & 12 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & \bigm| & -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & \bigm| & -1 & -4 & 1 \end{pmatrix} \\ &\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & \bigm| & 2 & 6 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & \bigm| & -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & \bigm| & -1 & -4 & 1 \end{pmatrix} \\ &\text{对}\ A\beta_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\text{，对应}\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & \bigm| & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & \bigm| & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & \bigm| & -1 \end{pmatrix},\ \text{通解为}\ P_1 = c_1\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - c_1 \\ -1 + 2c_1 \\ -1 + 3c_1 \\ c_1 \end{pmatrix},\ c_1\in\mathbb{R} \\ &\text{对}\ A\beta_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\text{，对应}\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & \bigm| & 6 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & \bigm| & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & \bigm| & -4 \end{pmatrix},\ \text{通解为}\ P_1 = c_2\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - c_2 \\ -3 + 2c_2 \\ -4 + 3c_2 \\ c_2 \end{pmatrix},\ c_2\in\mathbb{R} \\ &\text{对}\ A\beta_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\text{，对应}\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & \bigm| & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & \bigm| & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & \bigm| & 1 \end{pmatrix},\ \text{通解为}\ P_1 = c_3\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - c_3 \\ 1 + 2c_3 \\ 1 + 3c_3 \\ c_3 \end{pmatrix},\ c_3\in\mathbb{R} \\ \end{aligned}(2) 101−2123−10−41−3100010001→100−2143−1−3−41110−1010001→100−2103−11−41−310−101−4001→100−2100015−2−34−1−112−3−4−311→1000100011−2−32−1−16−3−4−111对 Aβ1=100，对应 1000100011−2−32−1−1, 通解为 P1=c1−1231+2−1−10=2−c1−1+2c1−1+3c1c1, c1∈R对 Aβ1=010，对应 1000100011−2−36−3−4, 通解为 P1=c2−1231+6−3−40=6−c2−3+2c2−4+3c2c2, c2∈R对 Aβ1=001，对应 1000100011−2−3−111, 通解为 P1=c3−1231+−1110=−1−c31+2c31+3c3c3, c3∈R
B=(2−c16−c2−1−c3−1+2c1−3+2c21+2c3−1+3c1−4+3c21+3c3c1c2c3),其中c1,c2,c3为任意常数 \boxed{B} = \begin{pmatrix} 2 - c_1 & 6 - c_2 & -1 - c_3 \\ -1 + 2c_1 & -3 + 2c_2 & 1 + 2c_3 \\ -1 + 3c_1 & -4 + 3c_2 & 1 + 3c_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} ,其中c_{1},c_{2},c_{3}为任意常数B=2−c1−1+2c1−1+3c1c16−c2−3+2c2−4+3c2c2−1−c31+2c31+3c3c3,其中c1,c2,c3为任意常数
【小结】对矩阵方程Ax=B，如果矩阵A不为可逆矩阵（不可逆或是不为方阵），① 思路：结合线性方程组，设x=(ξ1,⋯ ,ξn), B=(β1,⋯ ,βn)，代入可得Aξi=βi, i=1,⋯ ,n。可见，计算x相当要求解这n个非齐次线性方程组；② 注意：不必分别对(A∣βi), i=1,2,⋯ ,n做初等行变换，将这些线性方程组的常数列写在一起，对大型增广矩阵(A∣B)做一次初等行变换即可。\begin{aligned} &\text{【小结】对矩阵方程}Ax = B\text{，如果矩阵}A\text{不为可逆矩阵（不可逆或是不为方阵），} \\ &①\ \text{思路：结合线性方程组，设}x = (\xi_1,\cdots,\xi_n),\ B = (\beta_1,\cdots,\beta_n)\text{，代入可得} \\ &\quad A\xi_i = \beta_i,\ i = 1,\cdots,n\text{。可见，计算}x\text{相当要求解这}n\text{个非齐次线性方程组；} \\ &②\ \text{注意：不必分别对}(A|\beta_i),\ i = 1,2,\cdots,n\text{做初等行变换，将这些线性方程组的常数列} \\ &\quad\text{写在一起，对大型增广矩阵}(A|B)\text{做一次初等行变换即可。} \\ \end{aligned}【小结】对矩阵方程Ax=B，如果矩阵A不为可逆矩阵（不可逆或是不为方阵），① 思路：结合线性方程组，设x=(ξ1,⋯,ξn), B=(β1,⋯,βn)，代入可得Aξi=βi, i=1,⋯,n。可见，计算x相当要求解这n个非齐次线性方程组；② 注意：不必分别对(A∣βi), i=1,2,⋯,n做初等行变换，将这些线性方程组的常数列写在一起，对大型增广矩阵(A∣B)做一次初等行变换即可。
![![[Pasted image 20251120181411.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/0192cc8f2d564d93a96bb66e88bb8d3c.png)
解：(A∣B)=(1−1−1∣222a1∣1a−11a∣−a−1−2)→(1−1−1∣220a+23∣−3a−400a−1∣1−a0)① 若a+2=0，即a=−2(1−1−1∣22003∣−3−600−3∣30)→(1−1−1∣22001∣−1−2000∣0−6), r(A)=2, r(A∣B)=3，故无解.② 若a+2≠0, a=1时(1−1−1∣22033∣−3−3000∣00)→(100∣11011∣−1−1000∣00), 其中Ax=(21−2)的通解为(1−1−c1c1),故X=(11−1−c1−1−c2c1c2)\begin{aligned} &\text{解：}(A|B) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & \bigm| & 2 & 2 \\ 2 & a & 1 & \bigm| & 1 & a \\ -1 & 1 & a & \bigm| & -a-1 & -2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & \bigm| & 2 & 2 \\ 0 & a+2 & 3 & \bigm| & -3 & a-4 \\ 0 & 0 & a-1 & \bigm| & 1-a & 0 \end{pmatrix} \\ &①\ \text{若}a+2 = 0\text{，即}a = -2 \\ &\quad\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & \bigm| & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & \bigm| & -3 & -6 \\ 0 & 0 & -3 & \bigm| & 3 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & \bigm| & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \bigm| & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & \bigm| & 0 & -6 \end{pmatrix},\ r(A) = 2,\ r(A|B) = 3\text{，故无解.} \\ &②\ \text{若}a+2 \neq 0,\ a = 1\text{时} \\ &\quad\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & \bigm| & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & \bigm| & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & \bigm| & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \bigm| & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \bigm| & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \bigm| & 0 & 0 \end{pmatrix},\ \text{其中}Ax = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\text{的通解为}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 - c_1 \\ c_1 \end{pmatrix} , \text{故}X = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 - c_{1}&-1 - c_2 \\ c_1 &c_2\\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}解：(A∣B)=12−1−1a1−11a21−a−12a−2→100−1a+20−13a−12−31−a2a−40① 若a+2=0，即a=−2100−100−13−32−332−60→100−100−1102−102−2−6, r(A)=2, r(A∣B)=3，故无解.② 若a+2=0, a=1时100−130−1302−302−30→1000100101−101−10, 其中Ax=21−2的通解为1−1−c1c1,故X=1−1−c1c11−1−c2c2
③ 当a≠−2且a≠1时(1−1−1∣220a+23∣−3a−400a−1∣1−a0)→(1−10∣120a+20∣0a−4001∣−10)→(100∣13aa+2010∣0a−4a+2001∣−10)\begin{aligned} &\text{③ 当}a \neq -2\text{且}a \neq 1\text{时} \\ &\quad\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & \bigm| & 2 & 2 \\ 0 & a+2 & 3 & \bigm| & -3 & a-4 \\ 0 & 0 & a-1 & \bigm| & 1-a & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \bigm| & 1 & 2 \\ 0 & a+2 & 0 & \bigm| & 0 & a-4 \\ 0 & 0 & 1 & \bigm| & -1 & 0 \end{pmatrix} \\ &\quad\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \bigm| & 1 & \frac{3a}{a+2} \\ 0 & 1 & 0 & \bigm| & 0 & \frac{a-4}{a+2} \\ 0 & 0 & 1 & \bigm| & -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \end{aligned}③ 当a=−2且a=1时100−1a+20−13a−12−31−a2a−40→100−1a+2000110−12a−40→10001000110−1a+23aa+2a−40
方程有唯一解，此时方程的解为 X=(13aa+20a−4a+2−10);\text{方程有唯一解，此时方程的解为}\ X = \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{3a}{a+2} \\ 0 & \dfrac{a-4}{a+2} \\ -1 & 0 \end{pmatrix};方程有唯一解，此时方程的解为 X=10−1a+23aa+2a−40;
![![[Pasted image 20251120194252.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/ce42115150e741f19727650be72752e1.png)
解：(1) A经初等列变换化为B，则A与B等价，r(A)=r(B)A=(12α13027−α)→(12α01−α03−3α)→(12α01−α000), r(A)=2.B=(1α2011−111)→(1α20110α+13)→(1α2011002−α), 当α=2时，r(B)=r(A)=2.\begin{aligned} &\text{解：(1)}\ A\text{经初等列变换化为}B\text{，则}A\text{与}B\text{等价，}r(A) = r(B) \\ &A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \alpha \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -\alpha \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & \alpha \\ 0 & 1 & -\alpha \\ 0 & 3 & -3\alpha \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & \alpha \\ 0 & 1 & -\alpha \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ r(A) = 2. \\ &B = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & \alpha + 1 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - \alpha \end{pmatrix},\ \text{当}\alpha = 2\text{时，}r(B) =r(A)= 2. \\ \end{aligned}解：(1) A经初等列变换化为B，则A与B等价，r(A)=r(B)A=112237α0−α→100213α−α−3α→100210α−α0, r(A)=2.B=10−1α11211→100α1α+1213→100α10212−α, 当α=2时，r(B)=r(A)=2.
(2) 设P=(ξ1,ξ2,ξ3), B=(β1,β2,β3)(122∣122130∣01127−2∣−111)→(122∣12201−2∣−1−1−103−6∣−3−3−3)→(106∣34401−2∣−1−1−1000∣000), P=(3−6k14−6k24−6k3−1+2k1−1+2k2−1+2k3k1k2k3)P→(344−1−1−1k1k2k3)→(011111k1k2k3)→(011100k1k2k3)→(10001100k3−k2), 当k3≠k2时，P可逆.即 P=(3−6k14−6k24−6k3−1+2k1−1+2k2−1+2k3k1k2k3), k3≠k2\begin{aligned} &(2)\ \text{设}P = (\xi_1, \xi_2, \xi_3),\ B = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) \\ &\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & \bigm| & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 0 & \bigm| & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 7 & -2 & \bigm| & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & \bigm| & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & \bigm| & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & -6 & \bigm| & -3 & -3 & -3 \end{pmatrix} \\ &\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 6 & \bigm| & 3 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & -2 & \bigm| & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \bigm| & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ P = \begin{pmatrix} 3 - 6k_1 & 4 - 6k_2 & 4 - 6k_3 \\ -1 + 2k_1 & -1 + 2k_2 & -1 + 2k_3 \\ k_1 & k_2 & k_3 \end{pmatrix} \\ &P \to \begin{pmatrix} 3 & 4 & 4 \\ -1 & -1 & -1 \\ k_1 & k_2 & k_3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ k_1 & k_2 & k_3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ k_1 & k_2 & k_3 \end{pmatrix} \\ &\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & k_3 - k_2 \end{pmatrix},\ \text{当}k_3 \neq k_2\text{时，}P\text{可逆}. \\ &\text{即}\ P = \begin{pmatrix} 3 - 6k_1 & 4 - 6k_2 & 4 - 6k_3 \\ -1 + 2k_1 & -1 + 2k_2 & -1 + 2k_3 \\ k_1 & k_2 & k_3 \end{pmatrix},\ k_3 \neq k_2 \\ \end{aligned}(2) 设P=(ξ1,ξ2,ξ3), B=(β1,β2,β3)11223720−210−1211211→1002132−2−61−1−32−1−32−1−3→1000106−203−104−104−10, P=3−6k1−1+2k1k14−6k2−1+2k2k24−6k3−1+2k3k3P→3−1k14−1k24−1k3→01k111k211k3→01k110k210k3→10001001k3−k2, 当k3=k2时，P可逆.即 P=3−6k1−1+2k1k14−6k2−1+2k2k24−6k3−1+2k3k3, k3=k2
(1) A经初等列变换化为B ⟹ r(A)=r(B)但反过来不成立。A=(1000010000000000), B=(0000000000100001), r(A)=r(B)=2,但A不可能通过初等列变换化为B.则(1)的解法有可能扩大解的范围，故解得结果应该再验证。\begin{aligned} &(1)\ A\text{经初等列变换化为}B \implies r(A) = r(B) \\ &\quad\text{但反过来不成立。} \\ &A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\ r(A) = r(B) = 2, \\ &\quad\text{但}A\text{不可能通过初等列变换化为}B. \\ &\quad\text{则}(1)\text{的解法有可能扩大解的范围，故解得结果应该再验证。} \\ \end{aligned}(1) A经初等列变换化为B⟹r(A)=r(B)但反过来不成立。A=1000010000000000, B=0000000000100001, r(A)=r(B)=2,但A不可能通过初等列变换化为B.则(1)的解法有可能扩大解的范围，故解得结果应该再验证。
如何验证？(2) 法2：A可经初等列变换化为矩阵B说明存在一个可逆矩阵P，满足AP=B,也即AX=B存在一个可逆的解X.(A∣B)=(12α∣1α2130∣01127−α∣−111)→(12α∣1α201−α∣−11−α−103−3α∣−31−2α−3)→(12α∣1α201−α∣−11−α−1000∣0α−20)为保证AX=B有解，α=2.当α=2时，重复第2问过程，则P存在，故A可通过初等列变换化为矩阵B.\begin{aligned} &\text{如何验证？} \\ &(2)\ \text{法2：}A\text{可经初等列变换化为矩阵}B \\ &\quad\text{说明存在一个可逆矩阵}P\text{，满足}AP = B, \\ &\quad\text{也即}AX = B\text{存在一个可逆的解}X. \\ &(A|B) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \alpha & \bigm| & 1 & \alpha & 2 \\ 1 & 3 & 0 & \bigm| & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 7 & -\alpha & \bigm| & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & \alpha & \bigm| & 1 & \alpha & 2 \\ 0 & 1 & -\alpha & \bigm| & -1 & 1-\alpha & -1 \\ 0 & 3 & -3\alpha & \bigm| & -3 & 1-2\alpha & -3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & \alpha & \bigm| & 1 & \alpha & 2 \\ 0 & 1 & -\alpha & \bigm| & -1 & 1-\alpha & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \bigm| & 0 & \alpha-2 & 0 \end{pmatrix} \\ &\text{为保证}AX = B\text{有解，}\alpha = 2. \\ &\text{当}\alpha = 2\text{时，重复第2问过程，} \\ &\text{则}P\text{存在，故}A\text{可通过初等列变换化为矩阵}B. \\ \end{aligned}如何验证？(2) 法2：A可经初等列变换化为矩阵B说明存在一个可逆矩阵P，满足AP=B,也即AX=B存在一个可逆的解X.(A∣B)=112237α0−α10−1α11211→100213α−α−3α1−1−3α1−α1−2α2−1−3→100210α−α01−10α1−αα−22−10为保证AX=B有解，α=2.当α=2时，重复第2问过程，则P存在，故A可通过初等列变换化为矩阵B.
【小结】① 矩阵A通过初等变换化为B的充要条件是r(A)=r(B)；矩阵A通过初等列（行）变换化为B的必要非充分条件是r(A)=r(B)。② 一般来说，在解题中，利用必要非充分条件解题，均有可能扩大解的范围，若求出有两个解，则必须验证是否会舍掉一个解，若求出只有一个解，则不必验证，因为从考试规律来看，题目均是有解的。\begin{aligned} &\text{【小结】}①\ \text{矩阵}A\text{通过初等变换化为}B\text{的充要条件是}r(A) = r(B)\text{；矩阵}A\text{通过初等} \\ &\quad\text{列（行）变换化为}B\text{的必要非充分条件是}r(A) = r(B)\text{。} \\ &②\ \text{一般来说，在解题中，利用必要非充分条件解题，均有可能扩大解的范围，若求出有} \\ &\quad\text{两个解，则必须验证是否会舍掉一个解，若求出只有一个解，则不必验证，因为从考试} \\ &\quad\text{规律来看，题目均是有解的。} \\ \end{aligned}【小结】① 矩阵A通过初等变换化为B的充要条件是r(A)=r(B)；矩阵A通过初等列（行）变换化为B的必要非充分条件是r(A)=r(B)。② 一般来说，在解题中，利用必要非充分条件解题，均有可能扩大解的范围，若求出有两个解，则必须验证是否会舍掉一个解，若求出只有一个解，则不必验证，因为从考试规律来看，题目均是有解的。
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