【AcWing】蓝桥杯集训每日一题Day28|组合计数|二项式定理|杨辉三角|211.计算系数(C++)

211.计算系数

211. 计算系数 - AcWing题库
难度：简单
时/空限制：1s / 64MB
总通过数：3703
总尝试数：7790
来源： 《算法竞赛进阶指南》NOIP2011提高组
算法标签 二项式定理组合计数

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题目内容

给定一个多项式 $(ax+by{)}^k$，请求出多项式展开后 $x^n{y}^m$ 项的系数。

输入格式

共一行，包含 5 个整数，分别为 a，b，k，n，m，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出格式

输出共 1 行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对 10007 取模后的结果。

数据范围

0≤n,m≤k≤1000,
n+m=k,
0≤a,b≤10^6

输入样例：

1 1 3 1 2 

输出样例：

3

题目解析

由于是齐次多项式，所以n+m一定等于k
系数可能很大，要模上10007

a和b是在100万以内
k在1000以内

多项式展开可以用二项式定理

$$(a+b{)}^n=\sum _{r=0}^n{C}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$$

证明

$$(ax+by{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k(ax{)}^k(by{)}^{n-k}$$
一共是n个ax+by相乘，每一项里面不是取x这一项就是取y这一项
x的系数如果是k的话，说明有其中的k组取的是x这一项，剩下的n-k组取的是y这一项
总共有n组，从中挑出来k组取x这一项，所以一共有$C_n^k$种取法

可以发现其中的$x^n{y}^m$这一项，对应的系数就是$C_k^n{a}^n{b}^m$

如何求组合数，看数据范围
k只有1000
可以用递推的方式来求

杨辉三角

$$C_a^b=C_{a-1}^{b-1}+C_{a-1}^b$$

证明

从a个数中，选择b个数
可以将所有选法分成两大类
比如挑第一个元素，所有包含第一个元素的方法是一类，所有不包含第一个元素的方法是另一类

如果包含第一个元素的话，就是要从剩下的a-1个元素中选b-1个元素
如果不包含第一个元素的话，就是从剩余的a-1个元素中选b个元素

因为n和m都在1000以内
所以不需要用快速幂

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010, MOD = 10007;

//定义一个组合数递推数组
int C[N][N];

int main()
{
	int a, b, k, n, m;
	cin >> a >> b >> k >> n >> m;
	a %= MOD, b %= MOD; //取模，防止爆

	//先递推求一下组合数，有模板885题
	for (int i = 0; i <= k; i ++)
		for (int j = 0; j <= i; j ++)
			//如果上面的数是0，方案数是1
			if (!j) C[i][j] = 1;
			else C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % MOD;

	int res = C[k][n];
	//接下来乘n个a和m个b
	for (int i = 0; i < n; i ++) res = res * a % MOD;
	for (int i = 0; i < m; i ++) res = res * b % MOD;

	cout << res << endl;
	
	return 0;
}