【AcWing】蓝桥杯集训每日一题Day29|数学期望|DP|4009.收集卡牌(C++)

4009.收集卡牌

4009. 收集卡牌 - AcWing题库
难度：困难
时/空限制：1s / 512MB
总通过数：995
总尝试数：1852
来源： 第23次CCF计算机软件能力认证
算法标签 数学期望DP状态压缩DP记忆化搜索

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题目内容

小林在玩一个抽卡游戏，其中有 n 种不同的卡牌，编号为 1 到 n。
每一次抽卡，她获得第 i 种卡牌的概率为 pi。
如果这张卡牌之前已经获得过了，就会转化为一枚硬币。
可以用 k 枚硬币交换一张没有获得过的卡。
小林会一直抽卡，直至集齐了所有种类的卡牌为止，求她的期望抽卡次数。
如果你给出的答案与标准答案的绝对误差不超过 $10^{-4}$，则视为正确。
提示：聪明的小林会把硬币攒在手里，等到通过兑换就可以获得剩余所有卡牌时，一次性兑换并停止抽卡。

输入格式

输入共两行。
第一行包含两个用空格分隔的正整数 n,k，第二行给出 p1,p2,…,pn，用空格分隔。

输出格式

输出共一行，一个实数，即期望抽卡次数。

数据范围

对于 20% 的数据，保证 1≤n,k≤5。
对于另外 20% 的数据，保证所有 pi 是相等的。
对于 100% 的数据，保证 1≤n≤16,1≤k≤5，所有的 pi 满足 pi≥1/10000，且 ${\sum }_{i=1}^n$ pi=1。
注意，本题在官网必须保留 10 位小数才能通过（可能是没加SPJ），在本网站无此问题，只要满足你给出的答案与标准答案的绝对误差不超过 $10^{-4}$，则视为正确。

输入样例1：

2 2
0.4 0.6

输出样例1：

2.52

样例1解释

共有 2 种卡牌，不妨记为 A 和 B，获得概率分别为 0.4 和 0.6，2 枚硬币可以换一张卡牌。下面给出各种可能出现的情况：

• 第一次抽卡获得 A，第二次抽卡获得 B，抽卡结束，概率为 0.4×0.6=0.24，抽卡次数为 2。
• 第一次抽卡获得 A，第二次抽卡获得 A，第三次抽卡获得 B，抽卡结束，概率为 0.4×0.4×0.6=0.096，抽卡次数为 3。
• 第一次抽卡获得 A，第二次抽卡获得 A，第三次抽卡获得 A，用硬币兑换 B，抽卡结束，概率为 0.4×0.4×0.4=0.064，抽卡次数为 3。
• 第一次抽卡获得 B，第二次抽卡获得 A，抽卡结束，概率为 0.6×0.4=0.24，抽卡次数为 2。
• 第一次抽卡获得 B，第二次抽卡获得 B，第三次抽卡获得 A，抽卡结束，概率为 0.6×0.6×0.4=0.144，抽卡次数为 3。
• 第一次抽卡获得 B，第二次抽卡获得 B，第三次抽卡获得 B，用硬币兑换 A，抽卡结束，概率为 0.6×0.6×0.6=0.216，抽卡次数为 3。

因此答案是 0.24×2+0.096×3+0.064×3+0.24×2+0.144×3+0.216×3=2.52

输入样例2：

4 3
0.006 0.1 0.2 0.694

输出样例2：

7.3229920752

题目解析

最后用硬币兑换没有出现过的卡牌

n表示卡牌总共的种类
k表示多少枚硬币换一张卡牌

第二行是每次抽到每张卡牌的概率

输出期望抽卡次数

非常经典的，在算法题里常见的数学期望问题‘

从数学期望的角度分析

n很小，表示状态的时候需要用状态压缩的思想

如何表示状态

假设n=5，现在的卡牌有2，4，5，硬币的数量是2
因为n很小，只有16，表示有哪些卡牌的时候，可以用一个压缩的状态，用一个5位的01串来表示，01011，分别表示这5张卡牌有没有
用第二个数表示硬币数
所以状态可以用$(01011,2)$的二维状态来表示
写代码的时候把01串看成是二进制表示，转化成对应的十进制数来存储

从当前这个状态直到集齐所有卡牌，这个过程在概率论里面称为事件

需要找一下不同事件之间的关系

比如$(01011,2)$，可以转化成哪些事件呢
就看下一抽能抽到什么卡牌
一共有五种抽发，所以能变成五种事件，概率分别是$p_1,p_2,p_3,p_4,p_5$
如果下一抽抽的是第一张卡牌的话，变成的事件分别是$X_1，X_2$