【No.21】蓝桥杯组合数学|数位排序|加法计数原理|乘法计数原理|排列数|组合数|抽屉原理|小蓝吃糖果|二项式定理|杨辉三角|归并排序(C++)

组合数学

数位排序

【问题描述】
小蓝对一个数的数位之和很感兴趣,今天他要按照数位之和给数排序。当两个数各个数位之和不同时,将数位和较小的排在前面,当数位之和相等时,将数值小的排在前面。
例如,2022 排在 409 前面, 因为 2022 的数位之和是 6,小于 409 的数位 之和 13。又如,6 排在 2022 前面,因为它们的数位之和相同,而6小于 2022
给定正整数 n,m,请问对1到n 采用这种方法排序时,排在第 m 个的元 素是多少?
【输入格式】
输入第一行包含一个正整数 n。
第二行包含一个正整数 m 。
【输出格式】
输出一行包含一个整数,表示答案。

题目详解

对于数字 1-n 而言，可以事先求出每个数字的数位之和。根据每个数字的数位之和自定义排序函数即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;
int a[maxn], b[maxn];

//自定义排序函数
bool cmp(int x, int y)
{
	return b[x] < b[y] || b[x] == b[y] && x < y;
}

int main()
{
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
	{
		//求i的数位之和
		int num = i;
		while (num)
			b[i] += num % 10;
			num /= 10;
			a[i] = i;
	}
	sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);
	cout << a[m] << endl;
	return 0;
}

计数原理：加法原理

• 加法原理： 集合 S 被分成两两不相交的部分 S1​,S2​,S3​,…,Sm​，那么 S 的对象数目等于：∣S∣=∣S1​∣+∣S2​∣+∣S3​∣+…+∣Sm​∣

• 例： 一个学生想学一门数学课，一门文化课，但不能同时选，现在从 4 门数学课和 4 门文化课中选，一共有 4+4=8 种方法选一门课。

• 加法原理的关键是将计数分解为若干个独立（不相容）的部分，保证既不重复也不遗漏地进行计数。

• 加法原理是利用完备事件组的一个体现，我们可以利用一个集合的补集做题。

例题：分割立方体 lanqiaoOJ 题号 1620

题目描述：
一个立方体，边长为 n，分割成 n×n×n 个单位立方体。任意两个单位立方体，或者有 2 个公共点，或者有 4 个公共点，或者没有公共点。
请问，没有公共点和有 2 个公共点的立方体，共有多少对？
输入描述：
一个整数 n，1≤n≤30
思路：
反过来计算，先算出有 4 个公共点的立方体有多少对，然后用总对数减去。分几种情况讨论：

1. 正方体和周围 3 个正方体相邻，这种情况共有 8 个，就是顶角上的 8 个，总个数 3×8；
2. 正方体和周围 4 个正方体相邻，这种情况共有 (n−2)×12 个 （棱）总个数 4×(n−2)×12；
3. 正方体和周围 5 个正方体相邻，这种情况共有 6×(n×n−4×n+4) 个，总个数 5×6×(n×n−4×n+4)；
4. 正方体和周围 6 个正方体相邻，这种情况共有 (n×n×n−n×n×6+n×12−8) 个，总个数 6×(n×n×n−n×n×6+n×12−8)； 最后把这 44 个情况求和再除以 2。

正方体一共 $n^3$ 个，共有 $\frac{n^3(n^3-1)}{2}$​ 种关系

1. 正方体和周围 3 个正方体相邻，总个数 3×8；
2. 正方体和周围 4 个正方体相邻，总个数 4×(n−2)×12；
3. 正方体和周围 5 个正方体相邻，总个数 5×6×(n×n−4×n+4)；
4. 正方体和周围 66 个正方体相邻，总个数 6×(n×n×n−n×n×6+n×12−8)；
5. 最后把这 4 个情况求和再除以 2。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
   
   
    int n; 
    cin >> n;
    if(n == 1)
    {
   
                // 边长为 1 时特判
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    long long sum = n * n * n * (n * n * n - 1) / 2; //总数
    int edge3 = 8;
    int ans3 = 3 * edge3;
    int edge4 = (n - 2) * 12;
    int ans4 = 4 * edge4;
    int edge5 = n * n - 4 * n + 4;
    int ans5 = 5 * 6 * edge5;
    int edge6 = n * n * n - n * n * 6 + n * 12 - 8;
    int ans6 = 6 * edge6;
    cout << sum - (ans3 + ans4 + ans5 + ans6) / 2 << endl;
    return 0;
}

计数原理：乘法原理

令 S 是对象的有序对 (a,b) 的集合，其中第一个对象 a 来自大小为 p 的一个集合，对于对象 a 的每个选择，对象 b 有 q 个选择，那么 S 的大小：∣S∣=p×q
例：中性笔的长度有 3 种，颜色有 4 种，直径有 5 种。不同种类的中性笔有：3×4×5=60 种。
例：$3^4\ast 5^5\ast 7^2\ast 11^3$ 的正整数因子有多少？答：这是算数基本定理的概念。3 有 0 ~ 4 这 5 种选择，5 有 6 个选择，7 有 3 个选择，11 有 4 个选择，因子总数是 5×6×3×4=360 种。

排列数

排列是有序的。
不可重复排列数：从 n 个不同的物品中取出 r 个，排列数为：
$$A_n^r=n(n-1)(n-2)\dots (n-r$$