【AcWing】蓝桥杯集训每日一题Day2|前缀和|562.壁画(C++)

562. 壁画

562. 壁画 - AcWing题库
难度：中等
时/空限制：1s / 64MB
总通过数：4154
总尝试数：10197
来源： Google Kickstart2018 Round H Problem B
算法标签 思维题枚举前缀和

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题目内容

Thanh 想在一面被均分为 N 段的墙上画一幅精美的壁画。
每段墙面都有一个美观评分，这表示它的美观程度（如果它的上面有画的话）。
不幸的是，由于洪水泛滥，墙体开始崩溃，所以他需要加快他的作画进度！
每天 Thanh 可以绘制一段墙体。
在第一天，他可以自由的选择任意一段墙面进行绘制。
在接下来的每一天，他只能选择与绘制完成的墙面相邻的墙段进行作画，因为他不想分开壁画。
在每天结束时，一段未被涂颜料的墙将被摧毁（Thanh 使用的是防水涂料，因此涂漆的部分不能被破坏），且被毁掉的墙段一定只与一段还未被毁掉的墙面相邻。
Thanh 的壁画的总体美观程度将等于他作画的所有墙段的美观评分的总和。
Thanh想要保证，无论墙壁是如何被摧毁的，他都可以达到至少 B 的美观总分。
请问他能够保证达到的美观总分 B 的最大值是多少。

输入格式

第一行包含整数 T，表示共有 T 组测试数据。
每组数据的第一行包含整数 N。
第二行包含一个长度为 N 的字符串，字符串由数字 0∼9 构成，第 i 个字符表示第 i 段墙面被上色后能达到的美观评分。

输出格式

每组数据输出一个结果，每个结果占一行。
结果表示为 Case #x: y，其中 x 为组别编号（从 1 开始），y 为 Thanh 可以保证达到的美观评分的最大值。

数据范围

$1\le T\le 100$，
存在一个测试点$N=5\ast 10^6$,其他测试点均满足$2\le N\le 100$

输入样例：

4
4
1332
4
9583
3
616
10
1029384756

输出样例：

Case #1: 6
Case #2: 14
Case #3: 7
Case #4: 31

样例解释

在第一个样例中，无论墙壁如何被破坏，Thanh都可以获得 6 分的美观总分。在第一天，他可以随便选一个美观评分3的墙段进行绘画。在一天结束时，第一部分或第四部分将被摧毁，但无论哪一部分都无关紧要。在第二天，他都可以在另一段美观评分 3 的墙段上作画。
在第二个样例中，Thanh 在第一天选择最左边的美观评分为 9 的墙段上作画。在第一天结束时唯一可以被毁掉的墙体是最右边的那段墙体，因为最左边的墙壁被涂上了颜料。在第二天，他可以选择在左数第二段评分为 5 的墙面上作画。然后右数第二段墙体被摧毁。请注意，在第二天，Thanh不能选择绘制第三段墙面，因为它不与任何其他作画墙面相邻。这样可以获得 14 分的美观总分。

题目解析

1. 每一段墙上有一个评分，有n段
2. 第一天可以随便选一个位置开始
3. 画的时候是连续画，不能跳着画，每次画只能在画过墙旁边画，所有画过的画是连续的一段
4. 每天会画一段墙，每天结束的时候会坏一段墙
5. 坏掉的墙一定只与一段还未被毁掉的墙面相邻，意思是只能从两边坏，从中间开始坏的话会与两端还未被毁掉的墙面相邻
6. 当我们停下的时候，所有没画过的墙都已经毁坏掉了
   

一、在最坏的情况下，美观评分值的最大值是多少
数据范围最多有100个数据，其中有一个数据长度为500万，其余所有数据都很小，所有数据的总长大概为500万的级别
需要将时间复杂度控制到$O(N)$，$O(\log N)$长度比较小的话也能过

二、先考虑一下最终画的墙的长度是多少
当我们画完的时候，一定是留下中间画完的这一段，而且其余的墙都已经坏掉了，不会出现孤立的线段没有画也没有坏
这个过程是先画再坏，先画再坏，所以画的长度是$[\frac{n}{2}$,上取整，其余都是坏掉的
n如果是偶数的话，就是$\frac{n}{2}$，如果是奇数的话，除了第一个，其余的画过的和坏了的各分为$\frac{n}{2}$
($1+\frac{n}{2}下取整=\frac{n}{2}上取整$)

三、是不是所有长度是$\frac{n}{2}$上取整的区间都一定可以被画出来？
长度为