f ( t ) f(t) f(t) has the property:
- The domain is ( ∞ , − ∞ ) (\infty, -\infty) (∞,−∞)
- The integral of
f
(
t
)
f(t)
f(t) is limited
∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t = A \int ^{\infty} _{-\infty}f(t)dt= A ∫−∞∞f(t)dt=A
and
lim t → ∞ f ( t ) = 0 { \lim_{t \to \infty} f(t)=0} t→∞limf(t)=0
The Fourier transform of f ( t ) f(t) f(t)
f
(
t
)
→
F
(
ω
)
f(t) \rightarrow F(\omega)
f(t)→F(ω)
is
F
(
ω
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
x
p
(
−
j
ω
t
)
d
t
F(\omega)=\int ^{\infty} _{-\infty}f(t)exp(-j\omega t)dt
F(ω)=∫−∞∞f(t)exp(−jωt)dt
What is about the Fourier transform of the first derivative of
f
(
t
)
f(t)
f(t)?
Let’s use the definition
f
′
(
t
)
→
F
(
ω
)
f^{\prime}(t) \rightarrow F(\omega)
f′(t)→F(ω)
F
(
f
′
(
t
)
)
=
∫
−
∞
∞
f
′
(
t
)
e
x
p
(
−
j
ω
t
)
d
t
\mathcal{F}\left (f^{\prime}(t) \right)=\int ^{\infty} _{-\infty}f^{\prime}(t) exp(-j\omega t)dt
F(f′(t))=∫−∞∞f′(t)exp(−jωt)dt
Integral by part
F
(
ω
)
=
f
(
t
)
e
x
p
(
−
j
ω
t
)
∣
−
∞
∞
−
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
(
e
x
p
(
−
j
ω
t
)
)
′
d
t
F(\omega)= f(t)exp(-j\omega t) \bigg |^{\infty}_{-\infty}-\int ^{\infty} _{-\infty}f(t) \left ( exp(-j\omega t) \right) ^{\prime} dt
F(ω)=f(t)exp(−jωt)∣∣∣∣−∞∞−∫−∞∞f(t)(exp(−jωt))′dt
=
f
(
t
)
e
x
p
(
−
j
ω
t
)
∣
−
∞
∞
+
j
ω
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
x
p
(
−
j
ω
t
)
d
t
= f(t)exp(-j\omega t) \bigg |^{\infty}_{-\infty} + j\omega \int ^{\infty} _{-\infty}f(t) exp(-j\omega t) dt
=f(t)exp(−jωt)∣∣∣∣−∞∞+jω∫−∞∞f(t)exp(−jωt)dt
=
f
(
t
)
e
x
p
(
−
j
ω
t
)
∣
−
∞
∞
+
j
ω
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
x
p
(
−
j
ω
t
)
d
t
= f(t)exp(-j\omega t) \bigg |^{\infty}_{-\infty} + j\omega \int ^{\infty} _{-\infty}f(t) exp(-j\omega t) dt
=f(t)exp(−jωt)∣∣∣∣−∞∞+jω∫−∞∞f(t)exp(−jωt)dt
=
j
ω
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
x
p
(
−
j
ω
t
)
d
t
= j\omega \int ^{\infty} _{-\infty}f(t) exp(-j\omega t) dt
=jω∫−∞∞f(t)exp(−jωt)dt
Therefore,
F
(
f
n
(
t
)
)
=
(
j
ω
)
n
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
x
p
(
−
j
ω
t
)
d
t
\mathcal{F}(f^n(t))= (j\omega)^n \int ^{\infty} _{-\infty}f(t) exp(-j\omega t) dt
F(fn(t))=(jω)n∫−∞∞f(t)exp(−jωt)dt
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