Convolution Property of the Fourier Transform

最新推荐文章于 2025-11-25 14:11:30 发布

原创最新推荐文章于 2025-11-25 14:11:30 发布 · 284 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#概率论 #算法 #线性代数

工程数学专栏收录该内容

8 篇文章

订阅专栏

本文详细介绍了傅里叶变换的基本概念，并通过数学公式解释了如何从时域信号转换到频域信号。同时，文章还探讨了两个函数的卷积过程及其与傅里叶变换之间的关系。

Two functions of $f (t)$ and $g (t)$
The Fourier transform of $f (t)$ is
$F(f(t))=F(ω)=∫−∞∞f(t)exp(−jωt)dt\mathcal{F}(f(t))=F(\omega)=\int ^{\infty} _{-\infty}f(t)exp(-j\omega t)dt$
The Fourier transform of $g (t)$ is
$F(g(t))=G(ω)=∫−∞∞g(t)exp(−jωt)dt\mathcal{F}(g(t))=G(\omega)=\int ^{\infty} _{-\infty}g(t)exp(-j\omega t)dt$
The convolution $f (t)$ and $g (t)$ is
$h(t)=f(t)∗g(t)=∫−∞∞f(τ)g(t−τ)dτ→F(ω)G(ω)h(t)=f(t)*g(t)=\int ^{\infty} _{-\infty}f(\tau ) g(t-\tau)d\tau \rightarrow F(\omega)G(\omega)$

Proof:
$H(t)=F[f(t)∗g(t)]=F(ω)G(ω)H(t)=\mathcal{F}\left [f(t)*g(t)\right]=F(\omega) G(\omega)$
$F[f(t)∗g(t)]=F(ω)=∫−∞∞H(t)exp(−jωt)dt\mathcal{F}\left [f(t)*g(t)\right]=F(\omega)=\int ^{\infty} _{-\infty}H(t)exp(-j\omega t)dt$
$=∫−∞∞∫−∞∞f(τ)g(t−τ)dτexp(−jωt)dt=\int ^{\infty} _{-\infty}\int ^{\infty} _{-\infty}f(\tau ) g(t-\tau)d\tau exp(-j\omega t)dt$
$=∫−∞∞∫−∞∞f(τ)e−jωτdτg(t−τ)e−jω(t−τ)d(t−τ)=\int ^{\infty} _{-\infty}\int ^{\infty} _{-\infty}f(\tau ) e^{-j\omega \tau} d\tau g(t-\tau) e^{-j\omega (t-\tau)}d(t-\tau)$
$=∫−∞∞f(τ)e−jωτdτ∫−∞∞g(t−τ)e−jω(t−τ)d(t−τ)=\int ^{\infty} _{-\infty}f(\tau ) e^{-j\omega \tau} d\tau \int ^{\infty} _{-\infty}g(t-\tau) e^{-j\omega (t-\tau)}d(t-\tau)$
let $t‾=t−τ\overline t=t-\tau$

$∫−∞∞f(τ)e−jωτdτ∫−∞∞g(t−τ)e−jω(t−τ)d(t−τ)\int ^{\infty} _{-\infty}f(\tau ) e^{-j\omega \tau} d\tau \int ^{\infty} _{-\infty}g(t-\tau) e^{-j\omega (t-\tau)}d(t-\tau)$
$=∫−∞∞f(τ)e−jωτdτ∫−∞∞g(t‾)e−jωt‾dt‾=\int ^{\infty} _{-\infty}f(\tau ) e^{-j\omega \tau} d\tau \int ^{\infty} _{-\infty}g(\overline t) e^{-j\omega \overline t}d \overline t$
$=F(ω)G(ω)=F(\omega) G(\omega)$