「雅礼集训 2018 Day7」A 证明

本文探讨了区间[1,n]内的元素通过位运算(与、或)结合特定条件,如何影响区间内所有数值的关系。证明了在满足特定运算后,区间内所有值会变得一致或保持原有特性。同时,分析了操作的时间复杂度,并指出每次操作至少会让区间内数的一位相同。

& = \And

^ = \oplus

∀\forall = \forall

∴\therefore = \therefore

1.结论

区间 [1,n][1, n][1,n] 的元素为 a1,a2,a3...ana_1, a_2, a_3 ... a_na1,a2,a3...an
t1=a1&a2&a3&...&ant_1 = a_1 \And a_2 \And a_3 \And ... \And a_nt1=a1&a2&a3&...&an
t2=a1∣a2∣a3∣...∣ant2 = a1 | a2 | a3 | ... | ant2=a1a2a3...an


(1) 结论1

t2&x=t2t2 \And x = t2t2&x=t2,则 ∀i,ai&x=ai\forall i, a_i \And x = a_ii,ai&x=ai

还是比较好证明。

ttt 二进制拆分后的各个值记作集合 TTT

∀i,Ai⊆T2\forall i, A_i \subseteq T_2i,AiT2T2⊆XT_2 \subseteq XT2X

∴∀i,Ai⊆X\therefore \forall i, A_i \subseteq Xi,AiX

∴∀i,ai&x=ai\therefore \forall i, a_i \And x = a_ii,ai&x=ai


(2) 结论2

t2&x=t1&xt2 \And x = t1 \And xt2&x=t1&x, 则区间内所有值变为一个数 (TJTJTJ 的结论太大了

引理 111

t2&x=t1&xt2 \And x= t1 \And xt2&x=t1&x 说明对于 ∀j∈[1,n],x>>(j−1)&1=1\forall j \in [1, n], x >> (j - 1) \And 1 = 1j[1,n],x>>(j1)&1=1 ,所有 aja_jaj 的第 iii 位要么都为 000, 要么都为 111

引理 111 证明: (反证法

ttt 二进制拆分后的第 iii 位的值记作 TTT

Aj=1,Ak=0A_j = 1, A_k = 0Aj=1,Ak=0, 则 T2=1,T1=0T_2 = 1, T_1 = 0T2=1,T1=0

T1&X=0,T2&X=1T_1 \And X = 0, T_2 \And X = 1T1&X=0,T2&X=1,两者不相等,矛盾

证明:

X=0X = 0X=0

Ai&X=0A_i \And X = 0Ai&X=0,第 iii 位相同。

X=1X = 1X=1

∵∀i,j\because \forall i,ji,j Ai=AjA_i = A_jAi=Aj

Ai=1A_i = 1Ai=1, 则 ∀Ai&X=1\forall A_i \And X = 1Ai&X=1

Ai=0A_i = 0Ai=0, 则 ∀Ai&X=0\forall A_i \And X = 0Ai&X=0

∴∀i,j\therefore \forall i,ji,j Ai&X=Aj&XA_i \And X = A_j \And XAi&X=Aj&X

则第 iii 位相同

综上:得证。


同理

t1∣x=t1t1 | x = t1t1x=t1, 则 ∀i,ai&x=ai\forall i, a_i \And x = a_ii,ai&x=ai

t1∣x=t2∣xt1|x=t2|xt1x=t2x, 则区间内所有值变为一个数


2.时间复杂度

对区间的每次操作都会使区间内的数至少多一位相同(二进制下),不然就会某一位从全为 111 变为全为 000,所以每个区间至多操作 32∗232 * 2322

证明:(反证法

ttt 二进制拆分后的第 iii 位的值记作 TTT

不妨讨论是与运算

假设没有多一位相同

xxx 的第 iii 位如果为 000, 则 ∀i,j\forall i, ji,j Ai=AjA_i = A_jAi=Aj,则下一次 tatata 会变为 000

xxx 的第 iii 位如果为 111, 则 ∀Ai<=X\forall A_i <= XAi<=X

所以会有两种结果:

  1. 任意 aia_iai 拆分二进制的集合一定是 xxx 拆分二进制的子集,即结论 (1),所以这种情况就直接 returnreturnreturn 了。

  2. 使某一位的 111 全变为 000,下一次 tatata 就会直接 returnreturnreturn

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