「雅礼集训 2018 Day7」A 证明

& = \And

^ = \oplus

$\forall$ = \forall

$\therefore$ = \therefore

1.结论

区间 $[1,n]$ 的元素为 $a_1,a_2,a_3...a_n$
令 $t_1=a_1\&a_2\&a_3\&...\&a_n$
$t2=a1|a2|a3|...|an$

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(1) 结论1

若 $t2\&x=t2$，则 $\forall i,a_i\&x=a_i$

还是比较好证明。

将 $t$ 二进制拆分后的各个值记作集合 $T$

则 $\forall i,A_i\subseteq T_2$， $T_2\subseteq X$

$\therefore \forall i,A_i\subseteq X$

$\therefore \forall i,a_i\&x=a_i$

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(2) 结论2

若 $t2\&x=t1\&x$， 则区间内所有值变为一个数 （$TJ$ 的结论太大了

引理 $1$：

$t2\&x=t1\&x$ 说明对于 $\forall j\in [1,n],x>>(j-1)\&1=1$ ，所有 $a_j$ 的第 $i$ 位要么都为 $0$， 要么都为 $1$。

引理 $1$ 证明: （反证法

将 $t$ 二进制拆分后的第 $i$ 位的值记作 $T$

若 $A_j=1,A_k=0$， 则 $T_2=1,T_1=0$。

则 $T_1\&X=0,T_2\&X=1$，两者不相等，矛盾

证明：

若 $X=0$

则 $A_i\&X=0$，第 $i$ 位相同。

若 $X=1$

$\because \forall i,j$ $A_i=A_j$

若 $A_i=1$， 则 $\forall A_i\&X=1$

若 $A_i=0$， 则 $\forall A_i\&X=0$

$\therefore \forall i,j$ $A_i\&X=A_j\&X$

则第 $i$ 位相同

综上：得证。

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同理

若 $t1|x=t1$， 则 $\forall i,a_i\&x=a_i$

若 $t1|x=t2|x$， 则区间内所有值变为一个数

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2.时间复杂度

对区间的每次操作都会使区间内的数至少多一位相同(二进制下)，不然就会某一位从全为 $1$ 变为全为 $0$，所以每个区间至多操作 $32\ast 2$ 次

证明:（反证法

将 $t$ 二进制拆分后的第 $i$ 位的值记作 $T$

不妨讨论是与运算

假设没有多一位相同

若 $x$ 的第 $i$ 位如果为 $0$， 则 $\forall i,j$ $A_i=A_j$，则下一次 $ta$ 会变为 $0$

若 $x$ 的第 $i$ 位如果为 $1$， 则 $\forall A_i<=X$

所以会有两种结果：

1. 任意 $a_i$ 拆分二进制的集合一定是 $x$ 拆分二进制的子集，即结论 (1)，所以这种情况就直接 $return$ 了。

2. 使某一位的 $1$ 全变为 $0$，下一次 $ta$ 就会直接 $return$ 了