雅礼集训2019 day5

这篇博客详细介绍了2019年雅礼集训中关于矩阵、序列和排列的题目解法。在矩阵问题中,通过O(nm²)动态规划优化到O(nm)的解决方案,利用 Trie 树进行高效维护。序列问题采用离线处理和位运算统计。排列问题则提出了O(nlogn)的倍增算法,解决了原题的限制。

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matrix

在这里插入图片描述
n ∗ m ≤ 5 e 5 , 1 ≤ a i , j ≤ 1 e 9 n*m≤5e5,1≤a_{i,j}≤1e9 nm5e5,1ai,j1e9
一道很妙的题。
首先大家应该都会无脑的 O ( n m 2 ) d p O(nm^2)dp O(nm2)dp,即我们固定左右端点和之间的字符串 S S S,从上往下扫计算每一行的贡献,对于第 i i i行的串 S i S_i Si,我们设上一个出现的满足 S j = S i S_j=S_i Sj=Si的位置为 j j j,那么 S i S_i Si对答案的贡献就是 ( i − j ) ∗ ( n − i + 1 ) (i-j)*(n-i+1) (ij)(ni+1)
于是对于每一种串我们可以维护其出现位置的集合 s e t S = { a 0 , a 1 , a 2 , . . , a t } set_S=\{a_0,a_1,a_2,..,a_t\} setS={ a0,a1,a2,..,at},其中 a 0 = 0 a_0=0 a0=0是方便计算的,那么这个串的贡献就是 ∑ i = 1 t ( a i − a i − 1 ) ( n − a i + 1 ) \sum_{i=1}^t(a_i-a_i-1)(n-a_i+1) i=1t(

### 关于雅礼集训 2017 Day1 的题目及解析 #### 题目概述 根据已知引用内容[^3],雅礼集训 2017 Day1 的核心问题是关于矩阵操作的优化问题。给定一个 \(n \times m\) 的字符矩阵,其中 `#` 表示黑色格子,`.` 表示白色格子。目标是最小化将整个矩阵变为全黑所需的步数。 --- #### 解析与算法思路 ##### 输入描述 输入的第一行为两个整数 \(n\) 和 \(m\),分别代表矩阵的行数和列数。接下来 \(n\) 行每行包含长度为 \(m\) 的字符串,表示矩阵的内容。 ##### 输出描述 输出最小的操作次数使得整个矩阵变成全是黑色格子的状态。如果没有可行方案,则输出 `-1`。 --- ##### 算法设计 1. **可行性判断** 如果初始矩阵没有任何黑色格子 (`#`) 存在,则无法通过任何有限次操作使矩阵变黑,因此直接返回 `-1`[^4]。 2. **计算最少步数** 对于每一行,定义两种可能的操作方式: - 将该行全部涂黑。 - 不改变该行状态,仅依赖后续列操作来覆盖剩余白格。 同样地,对于每一列也存在类似的策略选择。最终的目标是综合考虑行列操作的影响,找到全局最优解。 3. **动态规划或贪心求解** 使用简单的遍历方法统计各行列中的黑白分布情况,并基于此决定最佳行动顺序。特别注意边界条件处理以及特殊情况下的额外开销评估。 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 1e3 + 5; int n, m, h[MAXN], l[MAXN]; char s[MAXN][MAXN]; int main(){ cin >> n >> m; bool has_black = false; for (int i = 1; i <= n; ++i){ cin >> (s[i]+1); for (int j = 1; j <= m; ++j){ if (s[i][j] == '#'){ has_black = true; h[i]++; l[j]++; } } } if (!has_black){ cout << "-1"; return 0; } int res = INT_MAX; for (int i = 1; i <= n; ++i){ res = min(res, m - h[i] + !l[i]); } int extra_cost = 0; for (int j = 1; j <= m; ++j){ if (l[j] != n) extra_cost += 1; } cout << res + extra_cost; } ``` 上述代码实现了基本逻辑框架,包括读取数据、初步分析是否存在解决方案的可能性以及最后一步汇总总成本的过程[^3]。 --- #### 复杂度分析 时间复杂度主要取决于两次嵌套循环扫描整个矩阵所需的时间量级 O(n*m),空间消耗同样维持在线性范围内 O(n+m)。 --- #### 注意事项 - 当前实现假设所有测试实例均满足合理范围内的尺寸规格;实际应用时需增加更多健壮性的错误检测机制。 - 结果验证阶段应充分考虑到极端情形比如完全空白或者满布障碍物等情况是否被妥善处置。 ---
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