LibreOJ #6044.「雅礼集训 2017 Day8」共矩阵树定理

原创于 2018-06-25 16:02:06 发布 · 492 阅读

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本文介绍了一种计算特定数量奇数深度节点的树的方法。利用二分完全图生成树的数量公式S(n,m)，结合组合数学技巧，给出了解决方案的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

问有多少棵n个节点的树满足深度为奇数的点恰好有k个。
$n\le500000$

分析

不难发现答案就是 $S(n-k,k)*C_{n-1}^{k-1}$
其中 $S(n,m)$ 表示一边有 $n$ 个点另一边有 $m$ 个点的二分完全图的生成树个数。
而又因为 $S(n,m)=n^{m-1}*m^{n-1}$ ，然后这题就做完了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

typedef long long LL;

int n,k,MOD;

int ksm(int x,int y)
{
    int ans=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;
        x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;
    }
    return ans;
}

int jc(int n)
{
    int ans=1;
    for (int i=1;i<=n;i++) ans=(LL)ans*i%MOD;
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&MOD);
    int ans=(LL)ksm(n-k,k-1)*ksm(k,n-k-1)%MOD*jc(n-1)%MOD*ksm(jc(k-1),MOD-2)%MOD*ksm(jc(n-k),MOD-2)%MOD;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}