[LOJ6507]「雅礼集训 2018 Day7」A

最新推荐文章于 2021-06-19 08:06:44 发布

原创最新推荐文章于 2021-06-19 08:06:44 发布 · 1.2k 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#loj6507 #雅礼集训2018Day7A #位运算 #势能分析 #线段树

线段树专栏收录该内容

39 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种在大规模数据集上进行区间或、区间与和区间最小值查询的高效算法。通过使用线段树和懒惰传播技术，该算法能够在O(nklogn)的时间复杂度内处理大量查询，其中k为数据最大值的二进制位数。文章详细解释了势函数分析方法，以确保算法的正确性和效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一个长度为n的序列a，要求资瓷
区间或，区间与和求区间最小值
n<=5e5,ai<2^31

Solution

让我们先来考虑一个暴力：
如果一次操作对某个区间的影响是一样的（即最小值还是那个数），那么我们直接打标记退出；若一次操作对某个区间无影响就直接退出
只需要维护区间or和区间and
然后你就会发现你过了_ (:з」∠) _
这是为什么呢？
让我们来分析一波复杂度：
设势函数 $ϕ(s)=f(s)+ϕ(left(s))+ϕ(right(s))\phi(s)=f(s)+\phi(left(s))+\phi(right(s))$
令 $k=\log_2(max(ai))$ ， $f(s)=∑i=0kg(s,i)f(s)=\sum_{i=0}^{k}g(s,i)$
其中若区间s中所有数的二进制的第i为都相同，则g(s,i)=0,否则g(s,i)=1
那么初始情况下 $ϕ(root)=O(nklog⁡n)\phi(root)=O(nk\log n)$
考虑 $ϕ(root)\phi(root)$ 的变化：
当我们下传标记时， $ϕ(root)\phi(root)$ 的变化量为O(k)
当我们新增标记时， $ϕ(root)\phi(root)$ 的变化量为O(k log k)
当我们访问一个节点时，必然会使这个点的f(s)-1
所以总复杂度O(nklog n)

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

int read() {
	char ch;
	for(ch=getchar();ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
	int x=ch-'0';
	for(ch=getchar();ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	return x;
}

void write(int x) {
	if (!x) {puts("0");return;}
	char ch[20];int tot=0;
	for(;x;x/=10) ch[++tot]=x%10+'0';
	fd(i,tot,1) putchar(ch[i]);
	puts("");
}

const int N=5e5+5,Mx=0x7fffffff;

int n,m,_or[N<<2],_and[N<<2],a[N];

struct Segment_Tree{
	int _or,_and,mn;
	friend Segment_Tree operator + (Segment_Tree a,Segment_Tree b) {
		Segment_Tree c;
		c._or=a._or|b._or;
		c._and=a._and&b._and;
		c.mn=min(a.mn,b.mn);
		return c;
	}
}tr[N<<2];

void build(int v,int l,int r) {
	_or[v]=0;_and[v]=Mx;
	if (l==r) {
		tr[v]._or=tr[v]._and=tr[v].mn=a[l];
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(v<<1,l,mid);
	build(v<<1|1,mid+1,r);
	tr[v]=tr[v<<1]+tr[v<<1|1];
}

void Or(int v,int z) {
	tr[v]._or|=z;tr[v]._and|=z;tr[v].mn|=z;
	_or[v]|=z;_and[v]|=z;
}

void And(int v,int z) {
	tr[v]._or&=z;tr[v]._and&=z;tr[v].mn&=z;
	_or[v]&=z;_and[v]&=z;
}

void down(int v) {
	if (_or[v]) {
		Or(v<<1,_or[v]);
		Or(v<<1|1,_or[v]);
		_or[v]=0;
	}
	if (_and[v]!=Mx) {
		And(v<<1,_and[v]);
		And(v<<1|1,_and[v]);
		_and[v]=Mx;
	}
}

void modify_and(int v,int l,int r,int x,int y,int z) {
	if ((tr[v]._or&z)==tr[v]._or) return;
	if (x<=l&&r<=y&&(tr[v]._and&z)==(tr[v]._or&z)) {
		And(v,z);
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;down(v);
	if (x<=mid) modify_and(v<<1,l,mid,x,y,z);
	if (y>mid) modify_and(v<<1|1,mid+1,r,x,y,z);
	tr[v]=tr[v<<1]+tr[v<<1|1];
}

void modify_or(int v,int l,int r,int x,int y,int z) {
	if ((tr[v]._and|z)==tr[v]._and) return;
	if (x<=l&&r<=y&&(tr[v]._and|z)==(tr[v]._or|z)) {
		Or(v,z);
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;down(v);
	if (x<=mid) modify_or(v<<1,l,mid,x,y,z);
	if (y>mid) modify_or(v<<1|1,mid+1,r,x,y,z);
	tr[v]=tr[v<<1]+tr[v<<1|1];
}

int query(int v,int l,int r,int x,int y) {
	if (x<=l&&r<=y) return tr[v].mn;
	int mid=l+r>>1,mn=Mx;down(v);
	if (x<=mid) mn=min(mn,query(v<<1,l,mid,x,y));
	if (y>mid) mn=min(mn,query(v<<1|1,mid+1,r,x,y));
	return mn;
}

int main() {
	n=read();m=read();
	fo(i,1,n) a[i]=read();
	build(1,1,n);
	for(;m;m--) {
		int opt=read(),l=read(),r=read();
		if (opt==1) {
			int k=read();
			modify_and(1,1,n,l,r,k);
		}
		if (opt==2) {
			int k=read();
			modify_or(1,1,n,l,r,k);
		}
		if (opt==3) write(query(1,1,n,l,r));
	}
	return 0;
}