[电机控制]—三相鼠笼式感应马达磁场导向控制

三相鼠笼式感应马达磁场导向控制

1.控制思路

三相鼠笼电机方程如下(上标e代表二轴同步旋转坐标系)：
$$\begin{gathered} \frac{d{i}_{ds}^e}{dt}=(-\frac{R_s}{L_{\sigma }}-\frac{1-\sigma }{\sigma {\tau }_r})i_{ds}^e+{\omega }_e{i}_{qs}^e+\frac{1-\sigma }{\sigma {\tau }_r{L}_m}{\Phi }_r+\frac{v_{ds}^e}{L_{\sigma }} \\ \frac{d{i}_{qs}^e}{dt}=-\frac{R_s}{L_{\sigma }}{i}_{qs}^e-{\omega }_e{i}_{ds}^e-\frac{(1-\sigma )}{\sigma L_m}{\omega }_e{\Phi }_r+\frac{v_{qs}^e}{L_{\sigma }} \\ \frac{d{\Phi }_r}{dt}=-\frac{R_r}{L_r}{\Phi }_r+R_r\frac{L_m}{L_r}{i}_{ds}^e \\ -R_r\frac{L_m}{L_r}{i}_{qs}^e+{\omega }_{sl}{\Phi }_r=0 \end{gathered}$$
其中：
$$\begin{gathered} \sigma =1-\frac{L_m^2}{L_s{L}_r} \\ {L}_{\sigma }=\sigma L_s \\ {\tau }_r=\frac{L_r}{R_r} \\ {\omega }_{sl}={\omega }_e-{\omega }_r \end{gathered}$$
转矩方程为：
$$T_e=\frac{3P}{4}\frac{L_m}{L_r}(i_q^{e}s{\Phi }_{dr}^e-i_{ds}^e{\Phi }_{qr}^e)=\frac{3P}{4}\frac{L_m}{L_r}(i_{qs}^e{\Phi }_r)$$
由电机方程可知，转子磁通链只与定子d轴电流有关；由转矩方程可知，马达转矩正比于转子磁通链和定子q轴电流乘积。

若转子磁通链被稳定控制，则转矩只与定子q轴电流有关，从而实现磁通与转矩的解耦控制。

想要控制转子磁通链，需要两个控制回路：①转子磁通链控制回路；②定子d轴电流控制回路。

当转子磁通链被稳定控制，可以通过转速回路产生转矩命令，进而控制定子q轴电流，则需要两个控制回路：①马达转速控制回路；②定子q轴电流控制回路；

设计原则：①由内而外；②内回路带宽高于外回路5~10倍。

2.电流回路设计

由于定子电流和转子磁场之间的相互作用，会产生非线性耦合项，如定子电流与转速的乘积。为了解决这个问题，在控制回路中添加补偿项来实现解耦。

dq轴电流方程如下：
$$\begin{gathered} \frac{d{i}_{ds}^e}{dt}=(-\frac{R_s}{L_{\sigma }}-\frac{1-\sigma }{\sigma {\tau }_r})i_{ds}^e+{\omega }_e{i}_{qs}^e+\frac{1-\sigma }{\sigma {\tau }_r{L}_m}{\Phi }_r+\frac{v_{ds}^e}{L_{\sigma }} \\ \frac{d{i}_{qs}^e}{dt}=-\frac{R_s}{L_{\sigma }}{i}_{qs}^e-{\omega }_e{i}_{ds}^e-\frac{(1-\sigma )}{\sigma L_m}{\omega }_e{\Phi }_r+\frac{v_{qs}^e}{L_{\sigma }} \end{gathered}$$

2.1 d轴电流控制回路

• PI控制器设计

假设非线性项已经被完全补偿，则d轴电流方程为：
$$\frac{d{i}_{ds}^e}{dt}=(-\frac{R_s}{L_{\sigma }}-\frac{1-\sigma }{\sigma {\tau }_r})i_{ds}^e+\frac{v_{ds}^e}{L_{\sigma }}$$
进行拉式变换，可得：
$$I_{ds}^e(s)=V_{ds}^e(s)\times \frac{\frac{1}{L_{\sigma }}}{s+(\frac{R_s}{L_{\sigma }+\frac{1-\sigma }{\sigma {\tau }_r}})}$$
可设计PI控制回路为：

代数换算，令：
$$\begin{gathered} N=\frac{1}{L_{\sigma }} \\ D=\frac{R_s}{L_{\sigma }}+\frac{1-\sigma }{\sigma {\tau }_r} \end{gathered}$$
则受控场变为：
$$\frac{\frac{1}{L_{\sigma }}}{s+(\frac{R_s}{L_{\sigma }+\frac{1-\sigma }{\sigma {\tau }_r}})}=\frac{N}{S+D}$$
整理PI控制器形式：
$$K_{p\_id}+\frac{K_{i\_id}}{s}=K_{p\_id}(\frac{s+\frac{K_{i\_id}}{K_{p\_id}}}{s})$$
假设wd为满足控制回路所需的带宽，利用零极点对消方法，可设计PI增益为：
$$\begin{gathered} K_{p\_id}=\frac{{\omega }_d}{N} \\ {K}_{i\_id}=\frac{D{\omega }_d}{N} \end{gathered}$$
可得开环传递函数为：
$$G_{d\_open}=\frac{{\omega }_d}{s}$$
可得闭环传递函数如下，形式为介质频率为wd的一阶低通滤波器：
$$G_{d\_close}=\frac{{\omega }_d}{s+{\omega }_d}$$

• 非线性项补偿

以上控制器设计是基于非线性项完全补偿所设计，现在考虑如何补偿非线性项。

完整电机方程为：
$$\frac{d{i}_{ds}^e}{dt}=(-\frac{R_s}{L_{\sigma }}-\frac{1-\sigma }{\sigma {\tau }_r})i_{ds}^e+{\omega }_e{i}_{qs}^e+\frac{1-\sigma }{\sigma {\tau }_r{L}_m}{\Phi }_r+\frac{v_{ds}^e}{L_{\sigma }}$$
PI控制器的输出为电压指令，在电压指令进入点击前，添加一个前馈补偿：
$$f_d=-L_{\sigma }({\omega }_e{i}_{qs}^e+\frac{1-\sigma }{\sigma {\tau }_r{L}_m}{\Phi }_r)$$
则实际进入马达的电压为：
$$v_{ds}^{e\ast }=v_{ds}^e+f_d$$
代入电机方程，解得：
$$\frac{d{i}_{ds}^e}{dt}=(-\frac{R_s}{L_{\sigma }}-\frac{1-\sigma }{\sigma {\tau }_r})i_{ds}^e+\frac{v_{ds}^e}{L_{\sigma }}$$
与之前假设的完全补偿非线性项方程一致，所以d轴完整控制回路设计为;

2.2 q轴电流控制回路

• PI控制回路设计

完整q轴电流方程：
$$\frac{d{i}_{qs}^e}{dt}=-\frac{R_s}{L_{\sigma }}{i}_{qs}^e-{\omega }_e{i}_{ds}^e-\frac{(1-\sigma )}{\sigma L_m}{\omega }_e{\Phi }_r+\frac{v_{qs}^e}{L_{\sigma }}$$
假设非线性项被完全补偿：
$$\frac{d{i}_{qs}^e}{dt}=-\frac{R_s}{L_{\sigma }}{i}_{qs}^e+\frac{v_{qs}^e}{L_{\sigma }}$$
拉氏变换可得：
$$I_{qs}^e(s)=V_{qs}^e(s)\times \frac{\frac{1}{L_{\sigma }}}{s+\frac{R_s}{L_{\sigma }}}$$
设计PI控制回路：

设q轴带宽为wq，与d轴设计方法完全相同，可得闭环传递函数为：
$$G_{q\_close}=\frac{{\omega }_d}{s+{\omega }_d}$$

• 非线性项补偿

在电流控制回路后添加前馈补偿：
$$f_q=L_{\sigma }({\omega }_e{i}_{ds}^e+\frac{1-\sigma }{\sigma L_m}{\omega }_e{\Phi }_r)$$
完整设计回路为：

2.3 磁通控制回路

磁通方程为：
$$\frac{d{\Phi }_r}{dt}=-\frac{R_r}{L_r}{\Phi }_r+R_r\frac{L_m}{L_r}{i}_{ds}^e$$
拉式变换可得：
$${\Phi }_r(s)=i_{ds}^e(s)\times \frac{L_m}{\frac{L_r}{R_r}s+1}$$
可知，转子磁通只与定子d轴电流有关。想要稳定的控制磁通，还需要一个d轴电流控制回路，磁通控制回路如下所示：

假设内回路电流回路带宽是外回路的五倍以上，则可以将内回路的转移函数为1（可参考chapter4内容）。

假设磁通控制回路带宽为w\phi，利用零极点对消法，可得转子磁通控制回路为：
$$G_{\varphi r\_close}=\frac{{\omega }_{\varphi }}{s+{\omega }_{\varphi }}$$

2.4 速度控制回路

电机转矩方程为：
$$T_e=\frac{3P}{4}\frac{L_m}{L_r}(i_{qs}^e{\Phi }_r)$$
电机机械方程为：
$$T_e-T_L=J\frac{d{\omega }_{rm}}{dt}+B{\omega }_{rm}$$
拉式变换，可得：
$${\omega }_{rm}=(T_e-T_L)\times \frac{1}{Js+B}$$
完整控制回路如下：

假设q轴电流回路满足带宽要求，则传递函数可变为1，磁通链两项乘积为1，则受控场为电机机械方程。使用零极点对消方法，可得速度控制回路传递函数为：
$$G_{\omega \_close}=\frac{{\omega }_s}{s+{\omega }_s}$$

3.simulink验证

建立simulink模型：

转速示波器：

4.内回路与外回路带宽关系

当电流内回路带宽为外回路带宽的五倍以上时，可以假设电流回路的传递的函数为1。原因是此时电流控制回路可以看做一个低通滤波器，观察低通滤波器的波特图。

低通滤波器matlab脚本：

% 低通滤波器设计
R = 1; % 电阻值
C = 1e-6; % 电容值

% 传递函数
num = 1/(R*C);
den = [1 1/(R*C)];

sys = tf(num, den); % 创建传递函数模型

% 绘制 Bode 图
figure;
h = bodeplot(sys); % 获取 bode 图句柄
setoptions(h, 'FreqUnits', 'Hz'); % 设置频率单位为 Hz
title('Bode Plot of Low-pass Filter');
grid on;

% 手动标出截止频率
fc = 1/(2*pi*R*C); % 截止频率
hold on;
plot([fc fc], ylim, 'r--'); % 画一条红色虚线表示截止频率
legend('Bode Plot', sprintf('Cutoff Frequency: %.2f Hz', fc));
hold off;

Bode图为：

在图中可以看出，在电流环截止频率的1/5或1/10处，幅值与相位基本为0，即可看做传递函数为1。