[控制理论]—如何选择增量式PID与位置式PID

如何选择增量式PID与位置式PID

1.什么是增量式PID与位置式PID

• 位置式PID

$$u(k)=k_{p}e(k)+k_i\sum _{i=0}^{k}e(i)+k_d[e(k)-e(k-1)]$$

位置式PID需要积分项消除稳态误差

• 增量式PID

$$\Delta u(k)=k_p[e(k)-e(k-1)]+k_{i}e(k)+k_d[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)]$$

增量式PID输出被控量的增量

2.如何选择及其原理

教材上讲“执行机构如果具有积分特性，则采用增量式PID；反之如果没有积分特性，则采用位置式PID”。

• 什么是“积分特性”？

将每次被控量的增量叠加，来实现最终的一个被控目标的输出。

如：步进电机通过获得一个脉冲步进一个角度，经过角度（即脉冲数）的累加，来运行到指定位置。

• 具有积分特性使用位置式PID会有什么影响

如果执行器本身具有积分特性，再使用位置式PID，会导致双重积分。

• 什么是“双重积分”？

控制器的积分项会持续累积误差；

执行机构的积分特性会进一步累积控制量；

3.双重积分

• 如何感性的理解双重积分的危害？

位置式PID的输出本身带有积分项的效果，积分导致被控量快速累积；执行器也具有积分特性，进一步放大输出，导数控制效果变差。

• 数学推导及影响

$$\begin{gathered} G_{PID}(s)=k_p+\frac{k_i}{s}+k_{d}s \\ {H}_{device}(s)=\frac{1}{s} \\ {G}_{open}(s)=G_{PID}(s)H_{device}(s)=\frac{k_p}{s}+\frac{k_i}{s^2}+k_d \end{gathered}$$

1/s2即双重积分对象

影响：

• 相位滞后与稳定性问题
  • 每增加一个积分环节，相位滞后90°；
  • 双重积分(1/s2)导致总相位滞后180°，使得系统振荡甚至不稳定；
• 积分饱和
  • 当执行机构达到物理极限后，积分项持续累积误差，导致控制器输出超出执行机构极限；
• 超调与振荡
  • 双重积分会放大系统的动态响应，比如当目标值突然发生变化时
    • 控制器的积分项快速累积，推动执行机构快速动作；
    • 执行机构自身的积分特性进一步放大输出，导致实际输出超出目标值，即超调；
    • 超调后误差反向，积分项反向累积，可能引起振荡；

4.选择方式

• 哪些条件下位置式PID会优于增量式PID

  • 执行机构制剂响应被控量的绝对值(无积分特性)

  PID被控量与最终实现效果线性关系；

  如LED灯亮度调节：PWM占空比直接与亮度相关；

  • 需要高精度消除静态误差；
  • 执行机构控制量独立（无需历史状态）；
  • 系统重启或通信中断后的快速恢复；

• 简便判断方法

“执行机构如果具有积分特性，则采用增量式PID；反之如果没有积分特性，则采用位置式PID”。

另外，增量式PID占用内存更小，适合用在嵌入式设备中。