三大变换与自控（五）三角函数的正交性证明

在本系列文章的第一篇中，我们提到任何信号都可以被分解为三角函数，是因为三角函数的正交性，因此在三角函数构建的坐标系中可以绘制任何图形。现在我们就来证明一下三角函数的正交性，以完善我们整个推导过程。

教材上的三角函数系长这样：

{1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, sin3x, cos3x…}

看了很疑惑，因为这是个阉割版，三角函数系完整版是这样的：

{sin0x, cos0x, sinx, cosx, sin2x,cos2x…}

教材上把sin0x = 0省略掉了， cos0x直接写成1，不知道为什么，可能这就是严谨吧（狗头）。

在高中的时候，我们就学过正交的概念，不过更多人是把正交理解成“垂直”，因此可能会误认为三角函数并不垂直，所以不正交。

所以，我们先搞清楚什么是正交：

假设一个二维坐标中存在两个垂直的向量a和b：

当两个向量相乘时，等于它们的模和夹角的余弦值的乘积，当夹角为90度时，其余弦值为0，因此向量乘积也就等于0，正交。

这里要搞清楚先后顺序，正交的条件是向量乘积为0，而向量乘积为0的充分不必要条件才是夹角为0 。

倘若是三维向量，乃至多维向量呢？这个时候我们只能从乘积等于0去判断，而不是夹角。

因此，对于多维向量a和b：

只有乘积为0时才是正交。

而对于两个函数：

上面这个式子实际上就是f(x)g(x)在区间内积分。

当两个函数对应的点的乘积相加等于0时，它们就是正交的。

因此，对于三角函数来说，只要我们从三角函数系中任取两个不同的项相乘的积分为0时，那么就是正交的：

因为正余弦波形是一样的，差的只是相位，所以coscos和sinsin是相通的，写了coscos就不需要sinsin了。

现在来验证一下上面两个式子是否都为0。

先看第一项：

利用积化和差公式，最后cos函数在-pi到pi上面积分，都不用算就知道是0 。

第二项也是同样的道理：

两项验证完毕，我们现在可以自信地说三角函数是具有正交性的了！