三大变换与自控（一）傅里叶级数

这一系列文章记录了我在学习三大变换时的心得。

首先从傅里叶变换开始，这是将一个信号从时域转变成频域的算法，在信号处理方面非常有用。

如果正在阅读这篇文章的读者还对傅立叶分析没有一个比较清楚的感性认识，建议先阅读一下知乎的一篇文章《傅立叶分析之掐死教程》，不带任何数学分析，是从纯感性上让你了解傅立叶分析的应用。

而本系列文章，基本是以纯数学手段来推导傅立叶，抱着学习目的来的同学一定要拿起笔一起演算，才能更好理解文章内容。

我一直认为，想要激发一个人的学习热情，就一定要有及时的正反馈，就好像一个feedback system一样，一味的输出是没有用的。因此，我们直接来看看傅立叶分析在信号电路中的作用，在后面的文章中再来详细推导证明傅立叶级数等等。

通常来讲，我们可以用正余弦函数来无限逼近一个信号，因此一个信号也可以分解为多个正余弦函数，而这些函数的频率组成，也就是这个信号所蕴含的频率。（简单理解一下，正余弦是正交的，就好比x=1和y=1一样，可以用它们来构建一个坐标系，并且在这个坐标系上绘制任何信号）

用数学公式表达，可以写作：

看到这里可能有点晕，不急，我们先不管背后的原理，直接用这个公式来分解一个信号试试。
分解这个方波信号：

先算周期T = 20，w = 2π/T = π/10
然后使用傅里叶级数公式：
先计算a0:

根据波形，在周期0-20时，当横坐标为0-10时，f(x) = 7，横坐标为10-20时，f(x) = 3，所以下一步：

接着算an：

（第一行0-10积分这里cos前面少写个7）
sin0, sin(nπ)，sin(2nπ)都等于0，所以an=0，也就是说，这个波形不含有余弦波。

最后再算bn：

cos2πn = 1, 进一步简化：

最后得到波形的分解：

观察此式可以发现，n越大，对应的正弦波的振幅就越小，也就是说这个波形的高频部分是很小的。仿真一下：

取了前三个波形，加起来就长这样：

只要把n的范围取广一点，波形就会越像原图的方波。当然，只能逼近，不能完全一样。

通过这个例子，我们还可以得出一个重要结论：
**
越陡峭（斜率变化巨大）的信号，比如说方波啊三角形波啊，就可以分解越多的高振幅高频正余弦，因此，这些信号需要更大的宽带来传输，否则高频信号被滤除过后，整个信号失真就非常严重了。**

我们还可以用欧拉公式对这个式子进行转换，用指数形式表示：

顺便一提，欧拉公式可以看做是一个螺旋上升的轨迹，它在一个正交平面里的两个投影分别是正弦和余弦，因此正余弦可以用指数表示，方便计算。

介绍完了傅里叶级数，下一篇介绍欧拉公式化简傅里叶级数的详细推导过程，以及如何从傅里叶级数推导傅里叶变换。看完过后你会对傅里叶变换是怎么来的有一个清晰的概念。

傅里叶级数是对周期性函数的展开，而傅里叶就是对周期为无穷大的函数进行取极限的算法。