三大变换与自控（一）傅里叶级数

这一系列文章记录了我在学习三大变换时的心得。

首先从傅里叶变换开始，这是将一个信号从时域转变成频域的算法，在信号处理方面非常有用。

如果正在阅读这篇文章的读者还对傅立叶分析没有一个比较清楚的感性认识，建议先阅读一下知乎的一篇文章《傅立叶分析之掐死教程》，不带任何数学分析，是从纯感性上让你了解傅立叶分析的应用。

而本系列文章，基本是以纯数学手段来推导傅立叶，抱着学习目的来的同学一定要拿起笔一起演算，才能更好理解文章内容。

我一直认为，想要激发一个人的学习热情，就一定要有及时的正反馈，就好像一个feedback system一样，一味的输出是没有用的。因此，我们直接来看看傅立叶分析在信号电路中的作用，在后面的文章中再来详细推导证明傅立叶级数等等。

通常来讲，我们可以用正余弦函数来无限逼近一个信号，因此一个信号也可以分解为多个正余弦函数，而这些函数的频率组成，也就是这个信号所蕴含的频率。（简单理解一下，正余弦是正交的，就好比x=1和y=1一样，可以用它们来构建一个坐标系，并且在这个坐标系上绘制任何信号）

用数学公式表达，可以写作：

看到这里可能有点晕，不急，我们先不管背后的原理，直接用这个公式来分解一个信号试试。
分解这个方波信号：

先算周期T = 20，w = 2π/T = π/10
然后使用傅里叶级数公式：