三大变换与自控（四）欧拉公式的证明

在前面的文章中，我们根据傅立叶级数推导出了傅立叶变换，在推导过程中多次使用了欧拉公式。所以今天我们就来简单证明一下欧拉公式，让我们的推导更加严谨。

先来看看欧拉公式：

e^iθ = cosθ+isinθ

证明的思路非常简单，我们将三角函数部分移到左边：

显然，只要我们证明对于任意数值的θ，上个式子都成立即可。

换句话说，只要下面这个函数永远等于1，欧拉公式就成立：

然后，我们对这个函数进行求导：

然后把分子项展开：

发现分子项互相抵消为0，也就是说这个函数就是个常数。我们再带入特殊值θ=0，计算出这个常数：

发现这个常数就等于1，因此欧拉公式得证。

在后面的文章中，我们继续证明傅立叶级数的数学逻辑。