坐标变换与基变换到底哪个左乘，哪个右乘??

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A	2020-3-18	AYZP	First Version	三小时

前言

学习目的

1） 坐标变换与基变换到底哪个左乘，哪个右乘。

答案： 根本就是由基和坐标的维数决定其到底左乘还是右乘，纯粹的数学关系，想太多，吃太饱

学习路线

1） SLAM十四讲视频

2） 优快云博客：https://blog.youkuaiyun.com/wys7541/article/details/81806376

资料定位

1） 学习笔记心得

一 坐标与基

1.1 基

  基的概念源于线性代数，一般指向量空间的基，其定义为：

Fig1. 图来自勿幻想博客(https://me.youkuaiyun.com/wys7541)

   **基**的一般使用 **一维行向量**表示：

$$V=L({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m)$$

【在我的理解里】，基实际上是坐标系的一组向量表示。三维坐标系$(xyz)$中，设其一组基为(α1, α2, α3)。所以请把基当做坐标系吧。

Fig2. 三维直角坐标系

1.2 坐标

  在线性代数中，坐标的全称为，***向量关于基的坐标。***其定义为：

Fig3. 图来自勿幻想博客(https://me.youkuaiyun.com/wys7541)

   **坐标**一般用 **一维列向量**表示：
【在我的理解中】，坐标是指坐标系下一组数值。如三维坐标系下某点坐标为(x, y, z)。

二 基变换

2.1 基变换定义

Fig4. 图来自勿幻想博客(https://me.youkuaiyun.com/wys7541)

2.2 基变换大白话

• 基变换就是把一组基变到另一组基。

• 而用在导航方面来讲，就是从一个坐标系转换到另一个坐标系。

• 注意，基变换是右乘的，即过渡矩阵A被乘在右边。

2.3 为什么基变换过渡矩阵A被乘在右边

  因为基是用一维行向量表示的，因此过渡矩阵A只能被乘到右边。举个三维的例子。

式中，(β1 β2 β3)是变换后的基（即变换后的坐标系），(α1 α2 α3)是变换前的基（变换前的坐标系），A是过渡矩阵（即变换矩阵）。(β1 β2 β3)是1x3的矩阵，(α1 α2 α3)是1x3的矩阵，A是3x3的矩阵，想要等式成立，必然右乘。

三 坐标变换

3.1 坐标变换定义

Fig5. 图来自勿幻想博客(https://me.youkuaiyun.com/wys7541)

3.2 坐标变换大白话

• 坐标变换就把一个点（或一个向量）从一个坐标系转换到另一个坐标系去。举个栗子：东北天坐标下点B坐标为(1, 2, 3)，通过坐标变换到北西天坐标系，在北西天坐标系下B点坐标是(x, x, x)。
• 上面那点就是说，同一个点（或向量）在不同坐标系下的坐标分别是什么？
• 注意，坐标变换，是左乘的。过渡矩阵A是乘在左边的。（在这里A和A^-1均只表示一个象征作用，象征变换阵，下同）

3.3 为什么坐标变换的过渡矩阵A被乘在左边

  因为坐标是用一维列向量表示的，因此过渡矩阵A只能被乘到左边。举个三维的例子。

式中，${\left(x^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }\right)}^T$是某一点在变换后的坐标系下坐标，${\left(xyz\right)}^T$是该点在变换前的坐标系下的坐标，$A$是过渡矩阵（即变换矩阵）。${\left(x^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }\right)}^T$是3x1的矩阵，${\left(xyz\right)}^T$是3x1的矩阵，$A$是3x3的矩阵，想要等式成立，必然左乘。

四 总结

• 关于向量和坐标系基元是左乘还是右乘，其实举个栗子就可以分清了。（已知坐标系基元为(i, j, k)，基元表示为一维行向量，因而基元的变换只能是右乘，举个栗子[1x3]=[1x3]*[3x3]。而坐标表示为一维列向量，因而坐标变换只能是左乘，举个栗子[3x1]=[3x3]*[3x1]）。因而本质是写出来的数学关系，让其能够成立，只是一种表述方法。
• 即，我为啥会提出这个无聊的问题？？？

参考资料

[1] 勿幻想. 线性代数笔记——基变换与坐标变换. 优快云博客. 2018.08. https://blog.youkuaiyun.com/wys7541/article/details/81806376