人工智能之数学基础:基变换和坐标变换的区别

本文重点

基变换和坐标变换是线性代数中的两个重要概念，它们描述了向量在不同基底或坐标系下的表示和转换关系。

矩阵

矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基地描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去，这就是基变换和坐标变换。

定义与本质

基变换：

定义：基变换是指向量在不同基底下表示的关系的数学描述。它涉及到从一个基底变换到另一个基底的过程。

本质：基变换的本质是求解基变换矩阵P，通过右乘原基向量组得到新的基向量组。这个过程可以看作是在同一个向量空间内，由一组基向量变成另一组基向量的过程。

坐标变换：

定义：坐标变换描述的是在同一基底下的向量坐标之间的变换关系。即空间内一个点x，在一个基（坐标系）下的坐标，转换至另一个基（坐标系）后显示的坐标。

本质：坐标变换的核心是通过基变换矩阵P的逆左乘原坐标，得到在新基底下的坐标表示。或者通过直接使用基变换矩阵P的逆进行坐标变换。

关注点与实现方式

基变换：

关注点：基变换关注的是基底的变化，即从一个基底集合变换到另一个基底集合。

实现方式：通常包括确定原基底和新基底，然后求解基变换矩阵P。这个矩阵可以通过线性方程组求解得到，或者利用已知的基底关系直接构造。

就像线性组可能存在多个极大线性无关组一