机器人学基础–左乘和右乘

心得记录

变换矩阵的左乘和右乘的运动解释是不同的：变换顺序「从右向左」，指明运动是相对固定坐标系而言的；变换顺序「从左向右」，指明运动是相对运动坐标系而言的

结论：相对 基准坐标系 做变换是左乘，相对 当前坐标系 做变换是右乘

左乘和右乘的概念

存在一坐标系{A}，坐标系{A}进行齐次坐标变换，得到{B}，此时的变换矩阵 $T_B^A$；坐标系{B}再进行一次齐次坐标变换，得到{C}， 此时的变换矩阵为 $T_C^A=T_C^B{T}_B^A$ 时称为左乘，为 $T_C^A=T_B^A{T}_C^B$ 时称为右乘。

变换矩阵的由来

坐标系{A}中的一矢量 $p$，记此时 $p$ 为 $p_0$（$p_0$ 与坐标系{A}固连）；$p_0$经过坐标系{A}的变换得到坐标系{B}后，相应的得到一个新位置，记此时 $p$ 为 $p_1$（$p_1$ 与坐标系{B}固连，注意 $p_1$ 在坐标系{B}中的坐标值就是 $p_0$）；$p_1$经过坐标系{B}的变换得到坐标系{C}后，也相应的得到一个新位置，记此时 $p$ 为 $p_2$（$p_2$ 与坐标系{B}固连，注意 $p_2$ 在坐标系{B}中的坐标值也是 $p_0$）。

变换矩阵 $T_B^A$ 的含义是坐标系{A}变换到坐标系{B}的变换矩阵（并没有提到变换的方式），但这里有一个问题（左乘和右乘区别的来源）：$T_B^A$ 是怎么计算的？——$T_B^A=\left[\begin{array}{cc}{R}_B^A& P_{B_o}^A\\ 0& 1\end{array}\right]$，其中的 $R_B^A$ 与 $P_{B_o}^A$ 的计算直接导致了左乘和右乘。

以旋转矩阵为例，在坐标系{B}变换到坐标系{C}的过程中，$R_B^A=Rot(x,\theta )$ 中 $x$ 的来源（坐标系{A}？坐标系{B}?）

现给出 $p_1=Rot(x,\theta )p_0$（没有进行平移变换），其中 x 轴是指坐标系{A}中的 x 轴。

注意上式中各个变量的意义：

• $p_1$：矢量 $p$ 变换后的坐标
• $p_0$：矢量 $p$ 变换前的坐标（原坐标）
• $Rot(x,\theta )$：以矢量 $p_0$（原坐标）所在的坐标系的轴为旋转轴进行旋转（角度为 $\theta$）

也就是说 $T_B^A$ 的基准坐标系是 坐标系{A}（原坐标系）

左乘与右乘

1. 坐标系{B}变换到坐标系{C}，变换基准是坐标系{A}

变换前 $p$ 在{A}中的坐标为 $p_1$，变换后 $p$ 在{A}中的坐标为 $p_2$，得到

$p_2=T_C^B{p}_1$

因此有

$p_2=T_C^A{p}_1=T_C^B(T_B^A{p}_0)=T_C^B{T}_B^A{p}_0$
==> $T_C^A=T_C^B{T}_B^A$（左乘）

2. 坐标系{B}变换到坐标系{C}，变换基准是坐标系{B}

变换前 $p$ 在{B}中的坐标为 $p_1^B$，变换后 $p$ 在{B}中的坐标为 $p_2^B$，得到

$p_2^B=T_C^B{p}_1^B$

现在来看 $p_1^B,p_2^B$ 与 $p_0,p_1,p_2$ 之间的关系

$p_1^B=p_0$

$p_2=T_B^A{p}_2^B$

因此有
$$\{\begin{array}{l}{p}_2=T_B^A{p}_2^B=T_B^A(T_C^B{p}_1^B)=T_B^A(T_C^B{p}_0)=T_B^A{T}_C^B{p}_0\\ p_2=T_C^A{p}_0\end{array}$$

==> $T_C^A=T_B^A{T}_C^B$（右乘）

关于一些细节的说明

• 教材《机器人学基础》里的 齐次变换矩阵 是在 2.3齐次坐标变换 中提出来的，但我个人认为齐次坐标矩阵只是齐次坐标变换问题的求解工具，而齐次变换矩阵本身的求解需要依靠坐标系变换（即上文内容）。
• 关于变换矩阵的求解使用的是单独的矢量而不是坐标系的原因：请注意求解过程中矢量本身的值对求解过程并无作用（即矢量可以是任意值），而且，坐标系的本质也是一组基向量，所以可以直接将对坐标系的操作和这个对矢量的操作等同。

一些碎碎念

• 一些零碎的吐槽记录

首先是最现实的解题：题目中常常会出现对于一个给定的点 $p$ 问其在另一个坐标系中的坐标。这种问题也就是上面提到过的齐次坐标变换中提出的最核心的问题，但是这里面一点和上文有着极大的不同：$p$ 是不会变的！这让我对本文方法求解出的齐次变换矩阵求解这种题时相当的迷惑
另外就是这本书中对于左乘和右乘并没有详细解释，唯一的说明就是本文开头的运动解释……好像也够做题了……
最后要吐槽的一个大的问题就是：关于左乘和右乘有一种说法：矢量问题是左乘，坐标系问题是右乘。刚开始变换矩阵的时候，这句话让我烦恼了两天……

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