三维变换矩阵左乘和右乘分析

本文详细解释了三维坐标点绕轴旋转的基本原理,包括左乘与右乘的区别,并通过实例展示了如何利用旋转矩阵来实现坐标点的逆时针及顺时针旋转。

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我在前面博客中提到,当三维坐标点发生旋转时,如果采用矩阵运算就会需要考虑“左乘”和“右乘”。若绕静坐标系(世界坐标系)旋转,则左乘,也是变换矩阵*坐标矩阵;若是绕动坐标系旋转(自身建立一个坐标系),则右乘,也就是坐标矩阵*变换矩阵

但现实中,我们只是对一个图像、点云进行旋转,则均是左乘实现

举例
对坐标点进行三维绕z轴逆时针旋转60度
如果以逆时针旋转为正,则左乘
T_Unclockwise = 
     cos(60°)   -sin(60°)         0
     sin(60°)     cos(60°)        0
             0                     1.0000
 
= [10;20;30]
 
如果以顺时针旋转为正,则左乘
T_Clockwise =
     cos(-60°)   sin(-60°)          0
    -sin(-60°)    cos(-60°)         0
              0             0          1.0000
注意上述旋转矩阵正负号不同,有些书上坐标变换是右乘,其实质是A'*inv(T_Unclockwise(60°)),还是逆时针为正,这里不建议写成右乘
 
T_Clockwise(-60°) *A = T_Unclockwise(60°) *A  %%逆时针旋转60度
 
 ans =
   -12.3200
     1.3400
    30.0000
 
T_Clockwise(60°)inv(T_Unclockwise(60°)),互逆的,仅限旋转矩阵,加入平移和缩放参数后的变换矩阵不适用。
 
二维也是如上所述!!
二维逆时针为正
T_Unclockwise =
   cos()   -sin()
   sin()    cos() 
 
二维顺时针为正 
T_Clockwise =
   cos()   sin()
   -sin()    cos() 

建议取逆时针方向正(符号右手定则,与其它理论一致),如果遇到中心不在原点处,则先将方程移至原点,再进行旋转,然后移回原中心。右乘用于不同坐标系的变换,如串联机器人,DH模型。
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