数学系的数字信号处理：连续信号、滤波器与采样定理

本专栏：数学系的数字信号处理 的前置知识主要有：数学分析（傅立叶级数的部分），泛函分析（$L^p$空间的部分）

连续信号、滤波器与采样定理

我们在数学上粗略地定义信号和滤波器，目的是快速理解相关知识的结构，而不是花费大量的时间在细节上。
本文中的 $\mathcal{F}$ 符号均指傅立叶变换，我们也常记 $\mathcal{F}(f)$ 为 $\hat{f}$

定义
信号：即把实数域映到复数域的函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$，一般是分段连续的

滤波器：把信号映为信号的变换

定义：时不变性
信号 $f$ 的时不变算子是如下定义的 $f_a$
$$f_a(t)=f(t-a),a\in \mathbb{R}$$滤波器 $L$ 称为时不变的，若对任意信号 $f$ 和实数 $a$，有 $L(f_a)=(Lf{)}_a$

定理：线性时不变滤波器的结构
设 $L$ 是分段连续信号 $f$ 上的线性时不变滤波器，则存在可积函数 $h$ ,使得对任意信号 $f$ ，有 $L(f)=f\ast h$；
此时称 $h$ 为冲激响应函数，称$h$ 的傅立叶变换 $\tilde{h}$ 为系统函数

证明思路

引理：（线性时不变滤波器使输入输出同频）
设线性时不变滤波器 $L$，$t$ 为自变量，则 $\forall \lambda \in \mathbb{R}$，存在函数 $h$ ，使得
$$L(e^{i\lambda t})=\sqrt{2\pi }\tilde{h}(\lambda )e^{i\lambda t}$$

引理的证明思路：（不严格）
设 $h^{\lambda }(t)=L(e^{i\lambda t})$，由时不变性，
$$h^{\lambda }(t-a)=L(e^{i\lambda (t-a)})$$由线性性 $$L(e^{i\lambda (t-a)})=e^{-i\lambda a}{h}^{\lambda }(t)$$故 $$h^{\lambda }(t)=e^{i\lambda a}{h}^{\lambda }(t-a)$$取 $a=t$，得到
$$h^{\lambda }(t)=e^{i\lambda t}{h}^{\lambda }(0)$$再取 $\tilde{h}$，使其满足
$$\tilde{h}(\lambda )=\frac{h^{\lambda }(0)}{\sqrt{2\pi }}$$

注：这个证明并没有解释结论形式的来源，也未解释满足所要求 $\tilde{h}$ 的存在性

定理的证明（不严格）
$$L(f)(t)=L{\mathcal{F}}^{-1}\mathcal{F}(f)(t)=L[\sqrt{2\pi }$$