数值分析复习：Newton-Cotes求积公式及复合求积公式

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用
本专栏：数值分析复习 的前置知识主要有：数学分析、高等代数、泛函分析

中矩形公式

定义：中矩形公式（中节点公式）
节点仅为区间中点的数值积分公式，即$$I(f)\approx f(\frac{a+b}{2})(b-a)$$

性质
若$f\in C^2[a,b]$，则上述公式是代数精度为1的插值型数值积分公式

梯形公式

定义：梯形公式
节点为区间端点，且$f$近似为这两点上的一次L插值的数值积分公式
即对节点 $x_0=a,x_1=b$，有
[P_1(x)=\frac{x-b}{a-b}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)][I(f)\approx\int_a^bP_1(x)\mathrm{d}x=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)]

性质
若 $f\in C^2[a,b]$，则上述公式是代数精度为1的插值型数值积分公式

Simpson公式

定义：Simpson（辛普森）公式
节点为区间端点及中点，且$f$近似为这两点上的二次L插值的数值积分公式
即对节点$x_0=a,x_1=\frac{a+b}{2},x_2=b$，有
$$\begin{array}{rl}{P}_2(x)=& \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}f(a)+\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}f(\frac{a+b}{2})\\ & +\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}f(b)\end{array}$$$$I(f)\approx {\int }_a^b{P}_2(x)\mathrm{d}x=\frac{f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)}{6}(b-a)$$

性质
若 f ∈ C 4 [ a , b ] f\in C^4[a,b]