高等代数复习：多项式

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

一元多项式环

定义：一元多项式
设数域 $\mathbb{K}$，未定元 $x$，若 $a_0,a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{K}(a_n\ne 0,n\ge 0)$，称形式表达式
$$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上关于未定元 $x$ 的一元 $n$ 次多项式，记 $f(x)$ 的次数为 $\mathrm{deg}f(x)=n$

命题：一元多项式空间
数域 $\mathbb{K}$ 上的一元多项式全体记为 $\mathbb{K}[x]$，关于多项式的加法和数乘成为一个线性空间

命题：次数的性质

• $\mathrm{deg}(f(x)g(x))=\mathrm{deg}f(x)+\mathrm{deg}g(x)$
• deg ⁡ ( f ( x ) + g ( x ) ) ≤ max ⁡ { deg ⁡ f ( x ) , deg ⁡ g ( x ) } \deg (f(x)+g(x))\leq \max\{\deg f(x),\deg g(x)\} deg(f(x)+g(x))≤max{ degf(x),degg(x)}
• $\mathrm{deg}(cf(x))=c\mathrm{deg}f(x)(c\ne 0)$

整除

定义：整除
设 $f(x),g(x)\in \mathbb{K}[x]$，若存在 $h(x)\in \mathbb{K}[x]$，使得
$$f(x)=g(x)h(x)$$则称 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的因式，或 $g(x)$ 可以整除 $f(x)$，或 $f(x)$ 可以被 $g(x)$ 整除，记为 $g(x)|f(x)$

性质
设 $f(x),g(x),h(x)\in \mathbb{K}[x],0\ne c\in \mathbb{K}$，则

• $f(x)\mid 0，0\nmid f(x)$
• 自反性：$f(x)\mid f(x)$
• 传递性：若 $f(x)\mid g(x),g(x)\mid h(x)$，则 $f(x)\mid h(x)$
• 若 $f(x)\mid g(x)$，则 $cf(x)\mid g(x)$
• $c\mid f(x)$
• 若 $f(x)\mid g(x),g(x)\mid f(x)$，则存在 $0\ne c\in \mathbb{K}$ 使得 $f(x)=cg(x)$

命题：带余除法
设 $f(x),g(x)\in \mathbb{K}[x]$，$g(x)\ne 0$，则存在唯一的 $q(x),r(x)\in \mathbb{K}[x]$ 使得
$$f(x)=g(x)q(x)+r(x)$$且 $\mathrm{deg}r(x)<\mathrm{deg}g(x)$

证明思路
存在性：
$\mathrm{deg}f(x)<\mathrm{deg}g(x)$ 情形易证，下面考虑 $\mathrm{deg}f(x)\ge \mathrm{deg}g(x)$
对 $\mathrm{deg}f(x)$ 作归纳，设结论对 $\mathrm{deg}f(x)<n$ 均成立，设
$$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,a_n\ne 0$$$$g(x)=b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_0,b_m\ne 0$$令
$$f_1(x)=f(x)-\frac{a_n}{b_m}{x}^{n-m}g(x)$$则 $\mathrm{deg}{f}_1(x)<n$，可做带余除法
$$f_1(x)=g(x)q_1(x)+r(x)$$其中 $\mathrm{deg}r(x)<\mathrm{deg}g(x)$，则
$$f(x)-\frac{a_n}{b_m}{x}^{n-m}g(x)=g(x)q_1(x)+r(x)$$故
$$f(x)=(\frac{a_n}{b_m}{x}^{n-m}+q_1(x))g(x)+r(x)$$即得

唯一性：
另设带余除法 $$f(x)=g(x)p(x)+$$