高等代数复习：特征值

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分类专栏：高等代数文章标签：笔记高等代数

于 2024-05-04 11:30:28 首次发布

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特征值

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

特征值

特征值的引入

定义：相似
若 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵且存在 $n$ 阶非异阵 $P$ ，使得 $B=P^{-1}AP$ 则称 $A$ 与 $B$ 相似，记为 $A\approx B$

命题
相似关系是等价关系（满足自反性，对称性，传递性）

由不变子空间的相关结论，我们知道
定理
设线性空间 $V$ 可分解为
$V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_m$

其中每个 $V_i$ 都是线性变换 $\varphi$ 的不变子空间，则 $\varphi$ 可以表示为分块对角阵

证明思路
只需证 $m = 2$ 的情形，设 $V_1$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\dots,e_r\}$ ，将其扩充为 $V$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\dots,e_r,e_{r+1},\dots,e_n\}$ ，则 $\{e_{r+1},\dots,e_n\}$ 是 $V_2$ 的一组基

由于 $\varphi(V_1)\subset V_1,\varphi(V_2)\subset V_2$ ，则设
$\begin{cases} \varphi(e_1)=a_{11}e_1+a_{12}e_2+\cdots+a_{1r}e_r\\ \varphi(e_2)=a_{21}e_1+a_{22}e_2+\cdots+a_{2r}e_r\\ \cdots\quad\cdots\\ \varphi(e_r)=a_{r1}e_1+a_{r2}e_2+\cdots+a_{rr}e_r\\ \end{cases}$

$\begin{cases} \varphi(e_{r+1})=a_{r+1,r+1}e_{r+1}+\cdots+a_{r+1,n}e_n\\ \varphi(e_{r+2})=a_{r+2,r+1}e_{r+1}+\cdots+a_{r+2,n}e_n\\ \cdots\quad\cdots\\ \varphi(e_{n})=a_{n,r+1}e_{r+1}+\cdots+a_{nn}e_n\\ \end{cases}$