数值代数及方程数值解：预备知识——二进制及浮点数

本篇文章的前置知识：数学分析

二进制

我们视二进制和十进制为一个数的不同表达形式

命题：二进制转化为十进制
二进制的数字表示为$$\cdots b_2{b}_1{b}_0.b_{-1}{b}_{-2}\cdots$$这等价于十进制下的
$$\cdots b_2\times 2^2+b_1\times 2^1+b_0\times 2^0+b_{-1}\times 2^{-1}+b_{-2}\times 2^{-2}+\cdots$$

命题：十进制转化为二进制
整数部分：十进制整数不断除2，记录除数及余数，直至除数为0，从后往前依次写下余数即为二进制下的数字，如下例 $(53{)}_{10}$
$$\begin{gathered} 53÷2=26\text{余}1 \\ 26÷2=13\text{余}0 \\ 13÷2=6\text{余}1 \\ 6÷2=3\text{余}0 \\ 3÷2=1\text{余}1 \\ 1÷2=0\text{余}1 \end{gathered}$$则得 $(53{)}_{10}=(110101.{)}_2$

小数部分：十进制小数不断乘2，记录整数部分，从前往后依次写下整数部分，直至小数部分为 0，如下例 $(0.7{)}_{10}$
$$\begin{gathered} 0.7\times 2=0.4+1 \\ 0.4\times 2=0.8+0 \\ 0.8\times 2=0.6+1 \\ 0.6\times 2=0.2+1 \\ 0.2\times 2=0.4+0 \\ \cdots \end{gathered}$$发现计算过程开始循环，故 $(0.7{)}_{10}$