数值分析复习：数值积分概述

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用
本专栏：数值分析复习 的前置知识主要有：数学分析、高等代数、泛函分析

数值积分法

基本概念

定义：数值积分公式
数值积分法是指逼近$I(f)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$的任意数值方法；主要方法是根据函数值 $f(x_0),\dots ,f(x_n)$ 构造
$$I_n(f)=\sum _{i=0}^n{A}_{i}f(x_i)$$使得$I(f)\approx I_n(f)$；称其为数值积分公式，其截断误差为
$$E_n(f)=I(f)-I_n(f)$$

定义：代数精度
设 $m\in {\mathbb{N}}^{+}$，若 $E_n(f)$ 对 $f(x)=1,x,x^2,\dots ,x^m$ 都为 0，但对 $f(x)=x^{m+1}$ 不为0，则称数值积分公式的代数精度为m

注：代数精度是衡量数值积分公式优劣的指标，节点相同的数值积分公式，代数精度越高越优。

注：若节点个数限制为 $n+1$ 个，则数值积分公式的代数精度一般不超过 $2n+1$，这是因为一般最多列 $2n+2$ 个方程才能解出 $A_i$ 和 $f(x_i)$ 共 $2n+2$ 个未知数

插值型数值积分

定义：插值型数值积分
若数值积分公式 $I_n(f)=I(f)$ 对次数不大于 $n$ 的多项式精确成立，即对