hihoCoder 1076 与链 (数位dp)

最新推荐文章于 2019-07-24 19:16:20 发布

My_ACM_Dream

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分类专栏：动态规划—数位dp

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该博客介绍了如何利用数位动态规划（DP）解决一道 hihoCoder 1076 题目，该题目要求计算满足特定与运算约束的长度为 k 的整数数组的数量。通过分析约束，博主发现可以按二进制位划分并进行状态转移，优化后的算法将时间复杂度降低，使得问题变得可解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

给定 n 和 k。计算有多少长度为 k 的数组 a1, a2, ..., ak，(0≤ai) 满足：a1 + a2 + ... + ak = n。
对于任意的 i = 0, ..., k - 1 有 ai AND ai + 1 = ai + 1。其中AND是与操作.

题解：

分析ai&ai+1=ai+1这个操作，我们会发现，ai+1必须比ai小或者等于ai才能满足，并且将其化成二进制会发现:

例如 ai+1=10 那么ai可以使：10 110 1110 11110....既然得到这个规律那么我们就可以根据数位dp按照位进行阶段划分，然后求解。dp[i][j]表示到第i为位置，和为j的个数。那么枚举这两状态外，还要枚举下一位1的个数，根据规律发现要满足条件时，某位有1都是往前靠的，比如说现在位i=2 那么这个为的1的排列只能是这样：

1 1 1 1、1 1 1 0、1 1 0 0、1 0 0 0、0 0 0 0.那么枚举1的个数其实就直接得到排列了，那么只要加上这位对应的和就ok了，不用考虑1的排列问题。

状态：dp[i+1][j+k]+=dp[i][j];

总的复杂度是O(n*k*17)，但是想到这里就直接放弃不写了，因为这复杂度太高了，又想不到好的方法解决。。事实上复杂度没这么高！因为有一个地方可以优化！那么就是枚举1的个数时，我们令sum表示目前位置的总和，那么只要sum>n就break，这样时间优化非常多，至少10倍，于是就可以过了！

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
#define B(x) (1<<(x))
typedef long long ll;
void cmax(int& a,int b){ if(b>a)a=b; }
void cmin(int& a,int b){ if(b<a)a=b; }
const int oo=0x3f3f3f3f;
const int MOD=1000000009;
const int maxn=10005;
ll dp[20][maxn];

int main(){
    //freopen("E:\\read.txt","r",stdin);
    int k,n,T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d %d",&k,&n);
        memset(dp,0,sizeof dp);
        dp[0][0]=1;
        for(int i=0;i<17;i++){
            for(int j=0;j<=n;j++){
                if(dp[i][j]==0)continue;
                for(int l=0;l<=k;l++){
                    ll sum=j+(l<<i);
                    if(sum>n)break;
                    dp[i+1][sum]=(dp[i+1][sum]+dp[i][j])%MOD;
                }
            }
        }
        cout<<dp[17][n]<<endl;
    }
	return 0;
}