杭二学习Day3——专题（最大权闭合子图&高斯消元&线性规划——单纯形）

背景：

今天中午竟然下雨了。

最大权闭合子图：

晚上回去补。

高斯消元：

不就是一个$\Theta (n^2)$大暴力吗？
题目传送门：$\text{luogu P3389}$【模板】高斯消元法。
贴一份代码吧。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
	int n;
	double a[110][110];
void gauss()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int p=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(fabs(a[p][i])<fabs(a[j][i])) p=j;
		if(fabs(a[p][i])<1e-8)
		{
			printf("No Solution");
			return;
		}
		for(int j=1;j<=n+1;j++)
			swap(a[i][j],a[p][j]);
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
		{
			double d=a[j][i]/a[i][i];
			for(int k=i;k<=n+1;k++)
				a[j][k]-=d*a[i][k];
		}		
	}
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			a[i][n+1]-=a[j][n+1]*a[i][j];
		a[i][n+1]/=a[i][i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%.2lf\n",a[i][n+1]);
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n+1;j++)
			scanf("%lf",&a[i][j]);
	gauss();
}

单纯形：

一种神奇的操作。

题目传送门：

$\text{uoj P179.}$线性规划。

题意：

已知$a,b,c$三个数组。
我们得到了一些第$i$条式子形如${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\le b_i$约束条件。现在要找到$x_j\ge 0$的使${\sum }_{j=1}^n{c}_j{x}_j$最大的解以及这个结果。

正题：

这个问题被称为线性规划。
高中必修书有讲，但上面是画图求解。
作为一名优秀的$\text{oier}$，我们肯定要会打暴力 啊。
没错，这是一种极为优秀的暴力——单纯形法求解线性规划。

$\text{Part1}$：

首先我们有标准式子，形如：
$$\begin{array}{rl}\max 5x_1+4x_2+3x_3& \\ \text{s.t.}2x_1+3x_2+x_3& \le 5\\ 4x_1+x_2+2x_3& \le 11\\ 3x_1+4x_2+2x_3& \le 8\\ x_1,x_2,x_3\ge 0& \end{array}$$

$[1].$我们要求最小怎么办？

$$-\left(\max \left(-\left(5x_1+4x_2+3x_3\right)\right)\right)=\min (5x_1+4x_2+3x_3)$$

$[2].$如果$x_i$可以为负怎么办？

用$x^{\prime }-x^{\prime \prime }$代替$x_i$，其中$x^{\prime },x^{\prime \prime }\ge 0$。

$[3].$如果符号为$=$怎么办？

$$2x_1+3x_2+x_3=5$$

令$x_4\ge 0$，有：
$$2x_1+3x_2+x_3+x_4\ge 5$$

$[4].$如果符号为$\ge$怎么办？

$$2x_1+3x_2+x_3\ge 5$$

两边同乘$-1$，得：
$$\to -2x_1-3x_2-x_3\le -5$$

$\text{Part2}$：

考虑将式子化为等式，有：
$$\begin{array}{rl}z=\max 5x_1+4x_2+3x_3& \\ \text{s.t.}2x_1+3x_2+x_3-x_4& =5\\ 4x_1+x_2+2x_3-x_5& =11\\ 3x_1+4x_2+2x_3-x_6& =8\\ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\ge 0& \end{array}$$
这个操作称为松弛。

移一下项，有：
$$\begin{gathered} z=-(5x_1+4x_2+3x_3) \\ \begin{array}{rl}\text{s.t.}{x}_4& =5-(2x_1+3x_2+x_3)\\ x_5& =11-(4x_1+x_2+2x_3)\\ x_6& =8-(3x_1+4x_2+2x_3)\end{array} \\ {x}_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\ge 0 \end{gathered}$$

对于左边这些新加进来的变量，我们称为基变量；右边这些旧的变量，我们称为非基变量。

$\text{Part3}$：

开始求解了。
做法就是：令这些非基变量为$0$，就得到了基本可行解： { x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 } = { 0 , 0 , 0 , 5 , 11 , 8 } \{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\}=\{0,0,0,5,11,8\} {x1​,x2​,x3​,x4​,x5​,x6​}={0,0,0,5,11,8}。
许多时候，这已经是$x$的一组解，尽管不一定是最有的。
但是有例外：
$$\begin{gathered} \max x_1+x2 \\ \begin{array}{r}\text{s.t.}{x}_1+3x_2\le -2\end{array} \\ {x}_1,x_2\ge 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} z=-(x_1+x2) \\ \begin{array}{r}\text{s.t.}{x}_3=-2+(x_1+3x_2)\end{array} \\ {x}_1,x_2\ge 0 \end{gathered}$$
当$x_1,x_2=0$时，有： { x 1 , x 2 , x 3 } = { 0 , 0 , − 2 } \{x_1,x_2,x_3\}=\{0,0,-2\} {x1​,x2​,x3​}={0,0,−2}。
此时不合法。

为什么不合法？
我们发现$b_i<0$时存在不合法方案（例子中的$-2<0$）。
此时我们就要判断是否有解。
若$b_i<0$，找到一个$a_j<0$，转换它们，不断重复直到所有的$b_i$都大于$0$。
若最后无法使所有的$b_i>0$（即当前$b_i<0$时无法找到$a_j<0$），那么无解。
转换的过程可以用高斯消元。