黎曼：论小于给定数值的素数个数(中文)

全文摘自《黎曼全集》第一卷，p127-135页.

论小于给定数值的素数个数

(柏林科学院月报，1859年11月)

为了表达对[柏林]科学院遴选我作为通讯院士这项荣誉的感谢，我认为最好的方式是借此机会来报告素数分布方面的研究. Gauss 和 Dirichlet 都曾长时间对此课题感兴趣，因此这个报告似乎是有价值的. ${}^{[1]}$
我用 Euler 提出的一个关系式作为我的出发点，也就是

$$\prod \frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}=\sum \frac{1}{n^s},$$

其中 $p$ 跑遍所有素数，而 $n$ 跑遍所有自然数. 这两个表达式在收敛时所表示的复变量 $s$ 的函数，我将记作 $\zeta (s){.}^{[2]}$ 仅当 s 的实部大于 1 时，两个表达式才收敛. 然而，容易找到一个使得这个函数总是有效的表达式.
由等式 ${}^{[3]}$

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-nx}{x}^{s-1}dx=\frac{\Pi (s-1)}{n^s}$$

立即得出

$$\Pi (s-1)\zeta (s)={\int }_0^{\infty }\frac{x^{s-1}dx}{e^x-1}.$$

如果我们现在考虑围道积分

$${\int }_{}^{}\frac{(-x{)}^{s-1}dx}{e^x-1}$$

其中积分路线沿一条闭路径按正方向从 $+\infty$ 到 $+\infty$ ,这条路径内部包含 0 点但不包含被积函数的其他不连续点，则容易看出它等于
$$(e^{-\pi si}-e^{\pi si}){\int }_0^{\infty }\frac{x^{s-1}dx}{e^x-1}，$$

假定在多值函数 $(-x{)}^{s-1}=e^{(s-1)\log (-x)}$ 中这样来取对数，使得当 $x$ 为负实数时，对数为实数.
由此得出
$$2\sin \pi s\Pi (s-1)\zeta (s)=i{\int }_{\infty }^{\infty }\frac{(-x{)}^{s-1}dx}{e^x-1},$$

此时的积分按照上述意义来理解.
于是这个等式就给出了 $\zeta (s)$ 对于每个复数 $s$ 的值，并且表明它是一个单值函数，除了 1 之外，对于每个有限的$s$，其值都是有限的. 它也表明，当 $s$ 为偶的负整数时， $\zeta (s)$ 为$0{.}^{(1)[4]}$
如果 $s$ 的实部为负的话，则积分也可通过取别的路径来计算. 与按正方向围绕先前描述的区域的路径不同，这次的路径是按负方向围绕上述区域的余集，这是因为对于所有的充分大模的 $x$, 积分是无穷小的. 在这个区域的内部，仅当 $x$ 等于 $\pm 2\pi i$ 的整数倍时，被积函数才是不连续的，所以积分就等于那些按负方向围绕这些点的积分之和. 围绕点 $n2\pi i$ 的积分值为 $(-n2\pi i{)}^{s-1}(-2\pi i)$ ，因此，
$$2\sin \pi s\Pi (s-1)\zeta (s)=(2\pi {)}^s\sum n^{s-1}((-i{)}^{s-1}+i^{s-1}).$$

这也给出了 $\zeta (s)$ 和 $\zeta (1-s)$ 之间的一个关系，这个关系可以用函数 $\Pi$ 的已知性质表述如下：
$$\Pi (\frac{s}{2}-1){\pi }^{-\frac{s}{2}}\zeta (s)$$

在 $s$ 换成 $1-s$ 时保持不变. ${}^{[5]}$
函数的这个性质促使我引入积分 $\Pi (\frac{s}{2}-1)$ 来代替 $\Pi (s-1)$ ，作为级数 ${\sum }_{}^{}\frac{1}{n^s}$ 的一般项的乘数，由此可以得到函数 $\zeta (s)$ 的一个很方便的表达式. 事实上，我们有
$$\frac{1}{n^s}\Pi (\frac{s}{2}-1){\pi }^{-\frac{s}{2}}={\int }_0^{\infty }{e}^{-n^2\pi x}{x}^{\frac{s}{2}-1}dx.$$

因而，如果我们令
$$\sum _1^{\infty }{e}^{-n^2\pi x}=\psi (x),$$

则有
$$\frac{1}{n^s}\Pi (\frac{s}{2}-1){\pi }^{-\frac{s}{2}}={\int }_0^{\infty }\psi (x)x^{\frac{s}{2}-1}dx.$$

因为
$$2\psi (x)+1=x^{-\frac{1}{2}}\left(2\psi (\frac{1}{x})+1\right)$$

(见 $Jacobi$ 全集第1卷第235页)，所以我们有

$$\Pi (\frac{s}{2}-1){\pi }^{-\frac{s}{2}}\zeta (s)$$

= ∫ 1 ∞ ψ ( x ) x s 2 − 1 d x + ∫ 0 1 ψ ( 1 x ) x s − 3 2 d x + 1 2 ∫ 0 1 ( x s − 3 2 − x s 2 − 1 ) d x =\int_{1}^{\infty}\psi (x)x^{\frac{s}{2}-1}dx+\int_{0}^{1}\psi(\frac{1}{x})x^{\frac{s-3}{2}}dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left( x^{\frac{s-3}{2}}-x^{\frac{s}{2}-1} \right)dx =∫1∞​ψ(x)x2s​−1dx+∫01​ψ(x1​)x2s−3​dx+21​∫