每两个连续正整数的平方之间必有至少两个素数

Legendre猜想：每两个连续整数的平方之间必有一个素数

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定理：每两个连续正整数的平方之间必有至少两个素数

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证明 1 ：

设 $p$ 是 $n$ 前奇素数， p={ 3,5,7,11,⋅⋅⋅,pi},pi<n；p=\left\{ 3,5,7,11,\cdot\cdot\cdot,p_i\right\},p_i<n；p={ 3,5,7,11,⋅⋅⋅,pi​},pi​<n；
因为，如果 $n>1$ 是一个合数，那么 $n$ 一定有一个素因子不超过 $\sqrt{n};$
如果 $n^2>1$ 是一个合数，那么 $n^2$ 的全部素因子皆不超过 $n;$
所以：如果 $p<n<n^2<k<(n+1{)}^2$ 中的 $k$ 是合数，那么 $k$ 一定有一个素因子小于 $n+1.$
而 $n<\sqrt{k}<n+1,$ 由于 $k$ 不可能是平方数，所以一定有一个素因子小于 $n$ (不用取等号).
$k=\left\{n^2+1,n^2+2,...,n^2+2n\right\}$ 其中 $n>3，k$ 总共有 $2n$ 个数，这些数不能全部是合数，因为： $n^2<n^2-1+p<n^2+p<(n+1{)}^2，n^2+p$ 是 $k$ 中的 $i$ 个 $(i\ge 1).$
$n$ 为偶数时 $n^2+p$ 不能全部是合数， $n$ 为奇数时 $n^2-1+p$ 不能全部是合数：

$(1)n$ 为偶数时
假设 $n^2+p=\left\{n^2+3,...,n^2+p_i\right\}$ 全部是合数，必有$n^2+p\equiv 0(modp)，(p$ 不同时是等价错误，同哥德巴赫猜想的证明中一样多个 $b)$