3、被动3D成像中的相机模型与校准技术解析

被动3D成像中的相机模型与校准技术解析

1. 齐次坐标与投影几何基础

在投影几何的诸多理论中，点和线存在可交换性，这类理论被称为对偶理论。例如，用齐次坐标表示的两条线的叉积可得到它们的交点，而一对点的叉积则能得出连接它们的线。

齐次坐标的转换较为简便，将齐次坐标向量除以其第三个元素，就能转换为非齐次坐标。例如，$[x_1,x_2,x_3]^T$ 会映射为 $[\frac{x_1}{x_3}, \frac{x_2}{x_3}]^T$。齐次坐标的一个关键优势在于，它能将成像过程中的相关变换表示为线性映射，以矩阵 - 向量方程的形式呈现。不过，从点的齐次世界坐标到齐次图像坐标的映射虽是线性的，但从齐次坐标到非齐次坐标的映射却是非线性的，这是因为需要进行除法运算。

齐次坐标与图像点及其反向投影到场景空间的射线之间存在着紧密联系。假设在投影中心前方一个度量单位处有一个数学（虚拟）图像平面，以相机中心 $C$ 为参考，齐次坐标 $[x,y,1]^T$ 可将一条 3D 场景射线定义为 $[\lambda x,\lambda y,\lambda]^T$，其中 $\lambda$ 是射线上的未知距离（$\lambda > 0$）。这表明 3D 场景点的深度模糊性与齐次坐标在任意非零比例因子下的等价性之间存在直观联系。

若将齐次图像点视为 3D 射线，那么两个齐次点的叉积会给出一个方向，该方向是包含这两条射线的平面的法线方向。这两个图像点之间的线就是这个平面与图像平面的交线。反之，图像平面中两条线的叉积则给出它们相关平面的交点，这个方向与这两个平面的法线都正交，并且是定义图像平面中两条线交点的射线方向。需要注意的是，任何第三个齐次元素为零的点都定义了一条与图像平面平行的射线