欧拉函数巨水解

最新推荐文章于 2025-04-26 22:35:04 发布

ydsrwex

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分类专栏：学习文章标签：算法 c++

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欧拉函数用希腊字母 $φ$ 表示, $φ (N)$ 表示 $N$ 的欧拉函数

通式：

$φ(x)=x∏i=1nφ(x)=x\prod_{i=1}^n$

多种情况:

如果 $n = 1$ ，则 $φ (1) = 1$
如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系
如果n是质数的某一个次方，即 $n = p^k$ (p为质数，k为大于等于1的整数)，则 $φ(p^k)=p^k-p^{k-1}$ ,这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。
如果n可以分解成两个互质的整数之积，则 $φ(p_1\times p_2) = φ(p_1)\timesφ(p_2)$ ，可以用中国剩余定理证明
最后就是普遍一点，将n拆成一系列质数的积，然后用以上的最后两种情况的结论就可以证明出通式。

求一个数的欧拉函数板子：

ll eular(ll n)
{
	ll ans=n;
	for(int i=2;i*2<=n;i++)
	{
		if(n%i==0)
		{
			ans=ans/i*(i-1);
			while(n%i==0)  n/=i;
		}
	}
	if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
	return ans;
}

筛

void get_eulers(int n)
{
    euler[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt ++ ] = i;
            euler[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                euler[t] = euler[i] * primes[j];
                break;
            }
            euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
}