可化为齐次的方程

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#数学

本文探讨了如何通过换元技巧，如统一变量、比例系数换元和阶数匹配，解决一阶微分方程组中x与y的复杂问题。重点介绍了利用u=x+y简化表达式和将x提升为更高次幂的方法，帮助读者理解并应用这些高级解题策略。

1.x与y的指数的阶数相同，但是后面都含有参数，通过换元将x变为一个变量加常数，y也同理来解方程组消去后面的常数

2.若x与y的阶数相同且两者的比例系数相同，可以用u=x+y进行换元。

3.若x与y的阶数不相同，但是可以通过将x换成u的n次方使u和y的阶数相同，同样可以用齐次方程的方式解决。注意：dx里的x也需要换掉，也会导致阶数的变化。

以上只适用于一阶微分方程。

 

 

齐次和非齐次线性方程组的解法整理定稿.doc
09-27
齐次和非齐次线性方程组是线性代数中的重要概念，它们在解决实际问题中扮演着核心角色。线性方程组通常由一组方程组成，每个方程对应于未知变量的线性组合等于某个常数。本文主要讨论了这两种类型的线性方程组的解法...
非齐次线性方程组的特解的求法
m0_53605808的博客
10-19 6572
使用消元法得到简化矩阵，然后解出特解。并用公式找到特解 x。
高等数学 7.3 齐次方程
MowenPan1995的博客
10-20 2120
时是齐次的，否则不是齐次的。在非齐次的情形，可用下列变换把它化为齐次方程：令。无法求得，因此上述方法不能应用。就可以把它化为可分离变量的方程。使它们满足上述方程组。求出这齐次方程的通解后，在通解中以。以上介绍的方法可以应用于更一般的方程。的形式，那么就称这方程为齐次方程。，便得所给齐次方程的通解。，便得所给方程的通解为。如果一阶微分方程可化成。这是可分离变量的方程。中，引入新的未知函数。
有趣的微分方程之齐次方程
qq_41148461的博客
10-13 2856
首先为什么会有齐次方程呢？那是因为古人云，其曰此为齐次方程。哈哈 首先来看一下齐次方程的形式： 形如这样的方程就叫做齐次方程！ 然后令： 则有： 由此一来，带入原式： 哈哈，它就变成了可分离变量的微分方程。 有意思，解微分方程的过程就是把未知解法的微分方程通过某种转变，变成我们已知解法的微分方程。 可化为齐次的微分方程 既然齐次微分方程可以化为可分离变量的微分方程，那么只要一个微分方程可以...
齐次变换
weixin_30745553的博客
02-16 205
除了使用三维直角座标来表示物体的空间位置之外，在图学中，也常使用「齐次座标」（homogeneous coordinate）来呈现，这一方面是为了方便将空间的平移、缩放、旋转等转换使用矩阵来记录。 齐次座标使用四个元素来表示，即(x, y, z, w)，要将齐次座标转换为三维座标，其关系为(x/w, y/w, z/w)，其中w表示座标轴的远近参数，通常设为1，如果要用来表示远近感，则会设...
2.齐次线性微分方程
yahhqy的博客
06-17 2247
0.引言   本节关于二阶微分方程，首先泛化欧拉方法到二阶。其次介绍了两个定理，叠加定理和Wronskian定理。 1.欧拉方法用于高阶微分方程   对于二阶微分方程: x¨=f(t,x,x˙)\ddot{x}=f(t, x, \dot{x})x¨=f(t,x,x˙) 求解方法是化为一组一阶微分方程 x˙=u(1)\dot{x}=u\tag{1}x˙=u(1) u˙=f(t,x,u)(2)\dot{u}=f(t, x, u)\tag{2}u˙=f(t,x,u)(2) 其中u=x˙u=\dot{x}u=x˙。
二维图形的几何变换矩阵推导与齐次方程的深入理解
罗伊的博客
03-07 3091
一.主要内容 变换公式的推导 齐次坐标的理解 变换矩阵的推导 二.平移、缩放、旋转的变换公式推导 1.平移 2.缩放 Sx、Sy是缩放因子 3.旋转 一般来说，单位圆的坐标（X,Y）可以写作（cosα,sinα）；若圆的半径为R，则坐标可以表示为（Rcosα,Rsinα）。 若坐标绕原点旋转θ度，则坐标可以表示为 （X1,Y1）= （Rcos(α+θ),Rsin(α+θ)） 该等式...
齐次线性方程组通解的求解方法及Python实现
m0_53605808的博客
10-16 2679
这段代码将输出基础解系，即齐次线性方程组的一组线性无关解。通解可以表示为这些基础解向量的线性组合，其中系数。：使用初等行变换将增广矩阵化为行最简形式（Reduced Row-Echelon Form，RREF）。：在行最简形式中，包含主元（每行的第一个非零元素）的列对应的变量是基本变量，其余变量是自由变量。：对于每个自由变量，将其设为参数，然后解出基本变量的表达式。：将方程组表示为矩阵形式 Ax=0，其中 A 是系数矩阵，x 是变量向量，0 是零向量。：基础解系的线性组合给出了方程组的通解。
AI笔记: 数学基础之齐次与非齐次线性方程组解的结构定理
Wang的专栏
07-12 3364
对称矩阵 元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵就叫做对称矩阵 对称矩阵具有的特性 对称矩阵中aij=ajia_{ij} = a_{ji}aij​=aji​ 对称矩阵一定是方阵, 并且对于任何的方阵A, A+ATA + A^TA+AT是对称矩阵 除对角线外的其他元素均为0的矩阵叫做对角矩阵 矩阵中的每个元素都是实数的对称矩阵叫做实对称矩阵 A={a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯an1an2⋯ann}A =\left \{\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{1
吴裕雄--天生自然 高等数学学习：微分方程
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求解微分方程
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09-23 1万+
一、一阶微分方程 具有如下形式： 1.可分离变量 具有如下形式： 设  ，可以得到 如果  ，则易知  也是方程的解。
第7章 微分方程
jinesse
09-01 2156
第一节 微分方程的基本概念第二节 可分离变量的微分方程第三节 齐次方程 齐次方程 可化为齐次的方程 第四节 一阶线性微分方程 线性方程 伯努利方程 第五节 可降阶的高阶微分方程 y(n)=f(x)y^{(n)}=f(x) 型的微分方程 y′′=f(x,y′)y^{\prime\prime}=f(x,y^\prime) 型的微分方程 y′′=f(y,y′)y^{\prime\prime}=f(y,y^
有趣的微分方程之常系数线性微分方程
qq_41148461的博客
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学习需静心，净心，精心 先来看看齐次的： 方程1 p,q为常数。 多么漂亮的一个式子啊！ 下面来看看我们如何来求解这个式子： 方案一 找到方程1的两个线性无关的解，则它们的组合y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程1的通解 方案二 当r为常数时，y=erx 和它的n次导数只差一个常数因子，哦吼，想到了什么？似乎已经初步看到了希望的小火苗。 对y=erx 分别求1次，2次导，并带入方程1，有： ...
积分规则、原则与导数，微分方程细分、难点---基本涵盖
eastlin
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积分 1.根据不定||定积分画出图像分析： 利用以下原则计算 1.可加性：积分区域不重叠 2.定限原则： I.积分区域为方形或规则立方体，谁先均可 II.不分类讨论 2.1对称性、轮转对称性、可加性 2.2积分不出现等值的 如，对x先积分原则是，积分区域内平行与x轴的线段没有相等的 2.分部积分原则 不定积分难易顺序（难->易）：反对幂指三 3.换元（不定积分要代回，定积分结果不变） 1.一般换元 2.三角函数换元 3.复合换元 4.拆分公式（3种）、倍..
考研数学（4/9）：微分方程
weidl001的博客
06-27 3345
微分方程 包含未知函数及其导数的方程 常微分方程 只包含一个自变量的微分方程 偏微分方程 包含多个自变量的微分方程 线性微分方程 未知函数及其导数都是线性的微分方程 非线性微分方程 未知函数及其导数中至少有一个是非线性的微分方程 微分方程的阶数 微分方程中最高阶导数的阶数 微分方程的解 满足微分方程的函数 可分离变量方程 可以将未知函数和自变量分离的微分方程 齐次方程 可以写成 y' = f(y/x) 的微分方程 一阶线性方程 可以写成 y' + p(x)y = q(x) 的微分方程
0703齐次方程-微分方程
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04-25 3831
0703齐次方程-微分方程
【高数】高阶可降阶微分方程的解法？什么时候考虑把dx/dy换元（反函数高阶导数）？
多学，多想，多总结
09-11 7256
高阶可降阶微分方程问题：缺y项的微分方程如何求解？换元时y''=dp/dx，还是y''=p·dp/dx？ 反函数高阶导数：什么时候将x看作y的函数呢？
简单微分方程
weixin_45883559的博客
12-20 490
简单微分方程 分离变量型 换元法解微分方程: 1.(xy−y2)dx−(x2−2xy)dy=0(xy-y^2)dx-(x^2-2xy)dy=0(xy−y2)dx−(x2−2xy)dy=0 解: 设u=x/yu=x/yu=x/y, 则有y′=u−xu′,y'=u-xu',y′=u−xu′, 化简得(1−2u)duu2=dxx\frac{(1-2u)du}{u^2}=\frac{dx}{x}u2(1...
【考研数学】三. 微分方程
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HYY的博客
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什么是齐次方程
最新发布
08-02
<think>我们被要求提供齐次方程的定义和例子。根据数学知识，齐次方程在不同上下文中有不同含义，主要分为线性代数中的齐次线性方程组和微分方程中的齐次微分方程。用户没有指定具体领域，因此需要涵盖这两个主要方面。 1. 线性代数中的齐次方程（组）： - 定义：齐次线性方程组是指常数项全为零的线性方程组。形式为 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$，其中 $A$ 是系数矩阵，$\mathbf{x}$ 是未知向量，$\mathbf{0}$ 是零向量。 - 例子：方程组 $$\begin{cases} 2x + 3y = 0 \\ 4x - y = 0 \end{cases}$$ 是齐次的，因为常数项都是0。 2. 微分方程中的齐次方程： - 定义：齐次微分方程通常有两种情况： a) 一阶齐次微分方程：可化为 $\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$ 的形式。 b) 线性齐次微分方程：对于线性微分方程，如果每一项都包含未知函数或其导数，且没有不含未知函数或其导数的项（即自由项为零），则称为齐次的。 - 例子： a) 一阶齐次微分方程：$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^2$，通过变量代换 $v = \frac{y}{x}$ 可解。 b) 二阶线性齐次微分方程：$\frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0$。 此外，在多项式理论中，齐次多项式也常被提及，但用户问题主要针对方程，因此我们聚焦于上述两类。 为了确保准确性，我们进行网络搜索验证。搜索关键词：“齐次方程定义”，“齐次方程例子”，“齐次线性方程组”，“齐次微分方程”。 搜索结果显示： - 齐次线性方程组：常数项全为零的线性方程组。 - 齐次微分方程：主要分为两类，一类是一阶可分离变量的特殊形式（通过变量代换），另一类是线性微分方程中自由项为零的情况。 因此，我们整合如下： 齐次方程在不同数学领域有不同定义： 1. 线性代数中的齐次线性方程组： 定义：常数项全为零的线性方程组，即方程组中每个方程的常数项均为0。一般形式为 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$，其中 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$\mathbf{x}$ 是 $n$ 维列向量，$\mathbf{0}$ 是 $m$ 维零向量。 例子： $$\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \\ 3x_1 - x_2 + 4x_3 = 0 \end{cases}$$ 2. 微分方程中的齐次方程： - 类型一：一阶齐次微分方程 定义：形如 $\frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right)$ 的方程，其中 $F$ 是某个函数。可通过变量代换 $v = \frac{y}{x}$ 化为可分离变量的方程。 例子：$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$ 可化为 $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{1}{v} + v$（其中 $v = \frac{y}{x}$）。 - 类型二：线性齐次微分方程 定义：对于线性微分方程，若其自由项（即不含未知函数及其导数的项）为零，则称为齐次的。例如，n阶线性微分方程：$a_n(x)\frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = 0$。 例子：二阶线性齐次微分方程：$\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$。 注意：在微分方程中，“齐次”有时也用于描述另一种类型（如可写成齐次函数的形式），但上述两种最为常见。 根据要求，我们生成相关问题部分。</think>### 齐次方程的定义和概念 #### 定义 齐次方程在不同数学领域有不同含义： 1. **线性代数中的齐次线性方程组** 形式为 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$，其中 $A$ 是系数矩阵，$\mathbf{x}$ 是未知向量，$\mathbf{0}$ 是零向量。所有常数项均为零。 - 特征：至少存在零解 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$，非零解的条件是 $rank(A) < n$（$n$ 为未知数个数）。 2. **微分方程中的齐次方程** - **一阶齐次微分方程**：形如 $\frac{dy}{dx} = f\left( \frac{y}{x} \right)$，可通过变量代换 $v = \frac{y}{x}$ 求解。 - **线性齐次微分方程**：形式为 $a_n(x)y^{(n)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0$，即不含非齐次项（自由项）。 --- #### 典型例子 1. **线性方程组** $$\begin{cases} 2x + 3y - z = 0 \\ x - 4y + 5z = 0 \end{cases}$$ 常数项全为零，是齐次线性方程组。解空间包含 $(x, y, z) = (0,0,0)$。 2. **一阶齐次微分方程** $$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 + xy}{x^2}$$ 变形为 $\frac{dy}{dx} = \left( \frac{y}{x} \right)^2 + \frac{y}{x}$，令 $v = \frac{y}{x}$ 得 $x\frac{dv}{dx} = v^2$。 3. **二阶线性齐次微分方程** $$\frac{d^2y}{dx^2} - 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0$$ 通解为 $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$（$C_1, C_2$ 为任意常数）。 --- #### 关键性质 - **解的叠加性**：若 $y_1$ 和 $y_2$ 是齐次微分方程的解，则 $C_1y_1 + C_2y_2$ 也是解（$C_1, C_2$ 为常数）。 - **解空间结构**： - 线性齐次方程组的解集构成向量空间。 - $n$ 阶线性齐次微分方程的通解含 $n$ 个线性无关的特解。
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