二阶常系数齐次 / 非齐次线性微分方程通解

注：本文为 “二阶常系数齐次 / 非齐次线性微分方程通解”相关文章合辑。

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二阶常系数齐次线性微分方程的通解

白水baishui 于 2018-03-25 17:13:57 发布

• 本文略去了很多证明，只记录结论

• 文中的微分方程均指代二阶常系数线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程的形式为：

$$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$$

由于是二阶线性微分方程，所以它有两个解，记为 $y_1、y_2$，若 $\frac{y_1}{y_2}\ne C$ (即两个解之比不为常数)，则 $y_1、y_2$ 线性无关，那么微分方程的通解为：

$$y=C_1{y}_1+C_2{y}_2$$

我们可以通过微分方程的特征方程来计算微分方程的两个解：

对于微分方程：

$$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$$

它的特征方程为：$a{r}^2+br+c=0$（微分方程的n阶导对于特征方程的n次幂）

写出微分方程的特征方程后即可以用求根公式求出特征方程的解：

$$r_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}，\Delta =b^2-4ac$$

以下分情况讨论：

① 当 $\Delta >0$ 时，$r_1、r_2$ 是两个不相等的实根

$$r_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}，r_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$$

微分方程的通解为：

$$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$$

② 当 $\Delta =0$ 时，$r_1、r_2$ 是两个相等的实根

$$r_1=r_2=-\frac{b}{2a}$$

微分方程的通解为：

$$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_{2}x{e}^{r_{2}x}$$

③ 当 $\Delta <0$ 时，$r_1、r_2$ 是一对共轭复根

$$r_1=\alpha +\beta i，r_2=\alpha -\beta i$$

其中 $$\alpha =-\frac{b}{2a}，\beta =\frac{\sqrt{-\Delta }}{2a}$$

微分方程的通解为：

$$y=e^{ax}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$$

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二阶常系数非齐次线性微分方程的通解

白水baishui 于 2018-03-25 22:37:35 发布

• 本文略去了很多证明，只记录结论

• 文中的微分方程均指代二阶常系数非线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为：$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=f(x)$

微分方程的通解 = 对应的二阶常系数齐次线性微分方程的通解 + 自身的一个特解。

简单记为：通解 = 齐次通解 + 特解。

下面只需要解出微分方程的特解即可。

对应微分方程：$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=f(x)$ 右式 $f(x)$ 有两种形式：

① $f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$ 型

此时微分方程对应的特解为：$y^{\ast }=x^k{R}_m(x)e^{\lambda x}$

其中：

• $R_m(x)$ 是于 $p_m(x)$ 同次( $m$ 次)的多项式(例如：$b_1{x}^2+b_{1}x+b_2$)

• $k$ 按 $\lambda$ 不是特征方程的根、是单根、是重根依次取 0、1、2

② $f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x+Q_n(x)\sin \omega x]$ 型

此时微分方程对应的特解为：$$y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}[R_m^{(1)}\cos \omega x+R_m^{(2)}\sin \omega x]$$

其中：

• $R_m^{(1)}和R_m^{(2)}$ 是同型 $m$ 次多项式，$m=\max (l,n)$，即 m = l、n 中的最大值；所谓同型即例如：

  $$R_m^{(1)}=ax+b,R_m^{(2)}=cx+d$$

• $k$ 按 $\lambda +\omega i$ 不是特征方程的根、是单根依次取 0、1

得到这个不完全的特解后根据需要求出其不同阶的导数然后带入微分方程，即可解出特解中的系数，到这里，就得到了微分方程的完整特解，于齐次通解相加即的微分方程的通解。

例：

求微分方程 $2y^{\prime \prime }+y^{\prime }-y=2e^x$ 的通解：

解：

微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为 $$2r^2+r-1=0$$

可得通解： y = C 1 e − x + C 2 e