旋转矩阵、欧拉角、四元数、轴/角之间的转换

最新推荐文章于 2025-06-10 15:08:09 发布

飘零过客

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分类专栏：机器人学文章标签：旋转矩阵四元数欧拉角轴-角相互转换

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本文介绍了机器人学中四种常用的旋转表示方法及其相互转换公式，包括旋转矩阵、欧拉角、四元数和轴/角表示。这些转换对于实现精确的坐标变换至关重要。

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在机器人学中，表示旋转的有四种方式。不同的人可能习惯于用不同的方法，现将四种方式之间的转换整理出来如下。

旋转矩阵

旋转矩阵R表示坐标系`O-x'y'z'`中的向量坐标变换为同一向量在坐标系`O-xyz`中的坐标的变换矩阵（transformation matrix）。
p=Rp' 
p'=R'p

旋转矩阵属于特殊正交群（special orthonormal group）；正交矩阵，每一列为单位矩阵，行列式为1。

- 描述了两个坐标系之间的相对指向。

- 表示了同一点在不同坐标系下（原点相同，即只有转动，没用平动）的坐标之间的坐标变换。

- 是将向量在同一坐标系下进行旋转的算子。

欧拉角（RPY）

绕Z轴旋转称为回转（Roll），绕Y轴旋转称为俯仰（Pitch），绕X轴旋转称为偏转（Yaw）。

{A}为参考坐标系，将{A}分别按顺序沿 $x_A,y_A,z_A$ 旋转 $γ,β,α\gamma, \beta, \alpha$ 后，和{B}重合，{A}和{B}之间的旋转方程：
$_B^A R_{xyz} = (\gamma, \beta, \alpha) = R(z_A, \alpha)R(y_A, \beta)R(x_A,\alpha )$
四元数
```
  是角/轴的扩展。
```

轴/角

  描述一个坐标系沿某一条直线旋转一定的角度，即与另一个坐标系重合。

经常要用到他们之间的相互转换。

##一、旋转矩阵

###1、旋转矩阵转换为欧拉角

$_B^A R_{xyz} (\gamma, \beta, \alpha)= \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix}$

${β=atan2(−r31,r112+r212)α=atan2(r21,r11),ifβ∈[−π/2,π/2]γ=atan2(r32,r33),ifβ∈[−π/2,π/2]\begin{cases} \beta = atan2(-r_{31}, \sqrt{r_{11}^2 + r_{21}^2}) \\ \alpha = atan2(r_{21}, r_{11}), if \beta \in [-\pi/2,\pi/2]\\ \gamma = atan2(r_{32},r_{33}), if \beta \in [-\pi/2,\pi/2] \end{cases}$
或者：
${β=atan2(−r31,r112+r212)α=atan2(−r21,−r11),ifβ∈[π/2,3π/2]γ=atan2(−r32,−r33),ifβ∈[π/2,3π/2]\begin{cases} \beta = atan2(-r_{31}, \sqrt{r_{11}^2 + r_{21}^2}) \\ \alpha = atan2(-r_{21}, -r_{11}), if \beta \in [\pi/2,3\pi/2]\\ \gamma = atan2(-r_{32},-r_{33}), if \beta \in [\pi/2,3\pi/2] \end{cases}$

###2、旋转矩阵转化为角/轴

$\begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix}$

$θ=acos(r11+r22+r33−12)\theta =acos(\frac{ r_{11} + r_{22} + r_{33} -1}{2})$
$r→=12sinθ[r32−r23r13−r31r21−r12]\overrightarrow r = \frac{1}{2sin \theta}\begin{bmatrix} r_{32}-r_{23} \\ r_{13}-r_{31} \\ r_{21} - r_{12} \end{bmatrix}$

###3、旋转矩阵转化为四元数

$\begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix}$

$\frac {\sqrt { r_{11} + r_{22} + r_{33} +1}}{2}$

$v→=12[sgn(r32−r23)r11−r22−r33+1sgn(r13−r31)r22−r11−r33+1sgn(r21−r12)r33−r22−r11+1]\overrightarrow v = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} sgn (r_{32}-r_{23}) \sqrt {r_{11} - r_{22} - r_{33} +1} \\ sgn(r_{13}-r_{31}) \sqrt {r_{22} - r_{11} - r_{33} +1}\\ sgn(r_{21}-r_{12}) \sqrt {r_{33} - r_{22} - r_{11} +1} \end{bmatrix}$

##二、欧拉角（RPY）

1、欧拉角转换为旋转矩阵

$_B^A R_{xyz} (\gamma, \beta, \alpha) = \begin{bmatrix} c_\alpha c_ \beta & c_\alpha s_ \beta s_ \gamma - s_ \alpha c_ \gamma & c_\alpha s_ \beta c_\gamma - s_ \alpha s_ \gamma \\ s_\alpha c_ \beta & s_\alpha s_ \beta s_ \gamma - c_ \alpha c_ \gamma & s_\alpha s_ \beta c_\gamma - c _\alpha s_ \gamma \\ -s_ \beta & c_\beta s_\gamma & c_\beta c_\gamma \end{bmatrix}$

##三、四元数

1、四元数转化为旋转矩阵

$\begin{bmatrix} 2(w^2+v_x^2)-1 & 2(v_xv_y-wv_z) & 2(v_xv_z+wv_x) \\ 2(v_xv_y+wv_z) & 2(w^2+v_y^2)-1 & 2(v_yv_z-wv_x) \\ 2(v_xv_z-wv_x) & 2(v_yv_z+wv_x) & 2(w^2+v_z^2)-1 \end{bmatrix}$

##四、轴/角

1、轴/角转化为旋转矩阵

$\begin{bmatrix} r_x^2(1-c\theta) + c\theta & r_xr_y(1-c\theta) -r_zs\theta & r_xr_z(1-c\theta) +r_ys\theta \\ r_xr_y(1-c\theta) +r_zs\theta & r_y^2(1-c\theta) + c\theta & r_yr_z(1-c\theta) -r_xs\theta \\ r_xr_z(1-c\theta) -r_ys\theta & r_yr_z(1-c\theta) +r_xs\theta & r_z^2(1-c\theta) + c\theta \end{bmatrix}$