轨迹优化入门必备 — 无损凸优化LCvx

1. 简介

无损凸优化 (Lossless Convexification, LCvx) 是由Behçet Açıkmeşe教授在NASA JPL实验室工作期间提出的轨迹优化方法，最初用于行星动力下降制导 (Powered Descent Guidance)

传统的轨迹优化问题往往是非凸的 (如推力幅值约束、非线性动力学)，难以用凸优化方法求解

LCvx 的核心思想是：

• 在一定的物理/建模假设下，将非凸约束问题转化为凸优化问题
• 转化是无损的，即转化后的凸问题的解与原问题的最优解一致

这使得LCvx成为可实时运行、收敛到全局最优解的制导算法，在探测器着陆、火箭回收等场景下得到广泛应用，并逐步扩展到航空、机器人、能源调度等领域

2. 快速入门

2.1 核心推导

考虑如下仿射/线性可控结构动力学模型：

$$\dot{\mathbf{x}}\left(t\right)=A\mathbf{x}\left(t\right)+B\mathbf{u}\left(t\right)$$

存在如下推力幅值约束，其中下界约束是非凸的

$${\mathbf{u}}_{\min }⩽\Vert \mathbf{u}\left(t\right)\Vert ⩽{\mathbf{u}}_{\max }$$

以及推力指向约束，非凸

$${\mathbf{n}}^{\mathrm{T}}\mathbf{u}\left(t\right)⩾\cos \left(\theta \right)\Vert \mathbf{u}\left(t\right)\Vert$$

目标函数定义为燃料消耗最小：$\min \int \Vert \mathbf{u}\left(t\right)\Vert dt$，这是LCvx可行的关键

引入辅助变量$\sigma \left(t\right)⩾0$，将推力幅值约束进行凸松弛

∥ u ( t ) ∥ ⩽ σ ( t ) u min ⁡ ⩽ σ ( t ) ⩽ u max ⁡ \begin{array}{l} \left\| \boldsymbol{u}\left( t \right) \right\| \leqslant \sigma \left( t \right)\\ \boldsymbol{u}_{\min}\leqslant \sigma \left( t \right) \leqslant \boldsymbol{u}_{\max}\\\end{array}