轨迹优化入门必备 — IPOPT

原创已于 2025-09-22 09:56:27 修改 · 2k 阅读

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#matlab #无人机 #机器人 #自动化

于 2025-09-22 09:47:25 首次发布

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1. 简介

IPOPT (Interior Point OPTimizer) 求解器由卡内基梅隆大学Lorenz Biegler课题组开发，是一款开源非线性规划(NLP)求解器。其属于COIN-OR项目，目前已经成为轨迹优化、过程控制等领域的主流数值优化工具

定位：求解带约束的大规模非线性优化问题
与轨迹优化的关系：轨迹优化本质上是连续时域的最优控制问题，经过离散化(如伪谱法、直接配点法)，转化为非线性规划问题，此时就可调用 IPOPT 进行数值求解
优势：开源、文档完善、支持稀疏矩阵、计算效率高
缺陷：只保证找到局部最优解，对初值依赖性强，求解速度低于定制化求解器

GitHub 项目主页：https://coin-or.github.io/Ipopt/

2. 快速上手指南

2.1 安装与调用

IPOPT 支持多种语言接口，包括 C++、Fortran、Python、MATLAB

系统层面安装：通过 apt, conda 等包管理器安装 IPOPT，或编译源码。
选择建模工具：
- Python: 使用 Pyomo，CasADi 等
- MATLAB: 通常结合 GPOPS-II 或 OPTI Toolbox
- C++: 直接调用 IPOPT API

2.2 理论原理

IPOPT 基于内点法(Interior Point Method)，通过在约束中引入对数障碍项，将原始约束优化问题转化为一系列无约束问题；以下简要介绍IPOPT的求解原理

在这里插入图片描述

典型的NLP形式为：

$\begin{array}{l} \underset{x}{\min}\,\,f\left( x \right)\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}. \,\,\,\,c\left( x \right) =0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x\geqslant 0\\\end{array}$

通过障碍参数 $\mu > 0$ 将不等式约束转化为对数障碍项，进而求解以下子问题：

$\begin{array}{l} \underset{x}{\min}\,\,f\left( x \right) -\mu \sum_{i=1}^n{\ln \left( x_i \right)}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}. \,\,\,\,\,c\left( x \right) =0\\\end{array}$

以上问题的Karush–Kuhn–Tucker(KKT)条件如下：

$\begin{array}{l} \nabla f\left( x \right) +\nabla c\left( x \right) \lambda -z=0\\ c\left( x \right) =0\\ XZe-\mu e=0\\ x,z\geqslant 0\\\end{array}$

使用牛顿法求解上述KKT非线性方程组

随着迭代， $\mu > 0$ 不断减小，逼近原问题的解；由此有如下认识：

IPOPT的理论脉络非常清晰，但实际的软件包采用大量的工程化方法来保证求解过程的稳定性
实际使用IPOPT，遇到求解失败的情况，本质上是求解上述非线性KKT方程组时失败所导致的

2.3 结合 GPOPS-II 使用

在前文中，轨迹优化问题在GPOPS-II内部转化为NLP问题，通过底层求解器IPOPT或SNOPT求解

轨迹优化入门必备 — GPOPS-II

下面以 Reusable Launch Vehicle Entry Problem 为例

在这里插入图片描述

setup.name = 'Reusable-Launch-Vehicle-Entry-Problem';
setup.functions.continuous = @rlvEntryContinuous;
setup.functions.endpoint   = @rlvEntryEndpoint;
setup.auxdata = auxdata;
setup.mesh.phase = meshphase;
setup.bounds = bounds;
setup.guess = guess;
setup.nlp.solver = 'ipopt';   % ★ 选择 IPOPT
setup.derivatives.supplier = 'sparseCD';
setup.derivatives.derivativelevel = 'second';
setup.scales.method = 'automatic-bounds';
setup.mesh.method = 'hp1';
setup.mesh.tolerance = 1e-6; % default 1e-3

在这里，GPOPS-II负责建模、离散化，而IPOPT则负责最终的NLP问题数值求解

2.4 参数调优

IPOPT提供大量可调参数，部分关键参数是：

tol：收敛阈值(可放宽加快求解)
max_iter：最大迭代次数
linear_solver：线性代数库(如 MA57、MUMPS，数值效率差别明显)
print_level：输出信息等级

3. 学习资料

IPOPT 官方文档：https://coin-or.github.io/Ipopt/
论文：On the implementation of an interior-point filter line-search algorithm for large-scale nonlinear programming. Mathematical programming, 2006.
教材：Lorenz T. Biegler, Nonlinear Programming: Concepts, Algorithms, and Applications to Chemical Processes.