轨迹优化入门必备 — 序列凸优化SCvx

1. 简介

序列凸优化(Successive Convexification, SCvx)由华盛顿大学Behçet Açıkmeşe教授课题组提出，最初用于可重复使用火箭(Reusable Launch Vehicle, RLV)定点降落轨迹优化

传统的轨迹优化问题往往是非凸的(如非线性约束、非线性动力学)，上一篇博文介绍的无损凸优化LCvx是对其中一类问题的凸化求解 (LCvx文章)

SCvx是在LCvx基础上，对轨迹优化问题的更一般化凸化求解，其核心思想是：

• 每一步都在当前轨迹附近线性化动力学与约束，从而构造凸子问题
• 将复杂的非凸轨迹优化问题转换为一系列凸子问题(通常为二阶锥规划SOCP)求解
• 通过迭代更新策略(信赖域trust region, 罚函数penalty)，收敛到原问题的局部最优解

与 LCvx 不同，SCvx 并不要求问题满足严格的“无损凸化”条件，而是通过迭代求解凸子问题逐渐逼近解，因此适用范围更广，在机器人和无人机领域都得到了广泛研究

2. 快速入门

2.1 核心推导

考虑一般的非凸最优控制问题：

$$\begin{array}{l}\underset{\mathbf{x},\mathbf{u}}{\min }J\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)\\ \mathbf{g}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)⩽0\end{array}$$

经过离散化(常用后向差分)，将连续时间问题离散为有限维优化问题

在当前参考轨迹$\left(\bar{\mathbf{x}},\bar{\mathbf{u}}\right)$附近，对非线性动力学做一阶泰勒展开：

$${\mathbf{x}}_{k+1}=\mathbf{f}\left({\bar{\mathbf{x}}}_k,{\bar{\mathbf{u}}}_k\right)+{\mathbf{A}}_k($$