s域节点导纳矩阵法理论基础及RLC串联电路验证
一、引言
在电网络理论研究中，s域节点导纳矩阵法是分析系统特性的重要工具。1969年，N. Balabanian 等人在其著作《网络理论》中提出了一个关键定理：对于线性时不变网络，其 s 域回路阻抗矩阵 Zloop(s)Z_{\text{loop}}(s)Zloop(s) 的行列式、s 域节点导纳矩阵 Ynode(s)Y_{\text{node}}(s)Ynode(s) 的行列式以及系统状态方程的特征多项式具有相同的非零零点。这一理论为电网络特性分析提供了重要的数学关联。
本文以 RLC 串联电路为例，对该理论进行推导与验证。
二、理论基础
1. 关键定理
对于任意线性时不变电网络：
det(Zloop(s))∼det(Ynode(s))∼det(sI−A) \det(Z_{\text{loop}}(s)) \sim \det(Y_{\text{node}}(s)) \sim \det(sI - A) det(Zloop(s))∼det(Ynode(s))∼det(sI−A)
三者的非零零点一致，其中：
- Zloop(s)Z_{\text{loop}}(s)Zloop(s)：s 域回路阻抗矩阵；
- Ynode(s)Y_{\text{node}}(s)Ynode(s)：s 域节点导纳矩阵；
- sI−AsI - AsI−A：状态方程矩阵。
结论： 求系统特征根不仅可以通过状态方程矩阵求解，也可以通过回路阻抗或节点导纳矩阵的行列式进行等效计算。
三、RLC 串联电路验证
1. 电路描述
考虑一个 RLC 串联电路，如图所示：
- 电阻 RRR；
- 电感 LLL，其电流为 iLi_LiL；
- 电容 CCC，其电压为 uCu_CuC；
- 电源电压 usu_sus。
系统状态变量选为：
x=[iLuC] x = \begin{bmatrix} i_L \\ u_C \end{bmatrix} x=[iLuC]
2. 状态方程及特征多项式
系统状态方程为：
ddt[iLuC]=[−RL−1L1C0]⏟A[iLuC]+[1L0]us \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\begin{bmatrix} i_L \\ u_C \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} -\frac{R}{L} & -\frac{1}{L} \\ \frac{1}{C} & 0 \end{bmatrix}}_{A} \begin{bmatrix} i_L \\ u_C \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{1}{L} \\ 0 \end{bmatrix}u_s dt
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