奇异矩阵与奇异值的概念

在仅仅针对方阵（行数和列数相等的矩阵）的线性代数语境下，奇异矩阵（Singular Matrix）的定义非常明确：

简单来说，奇异矩阵就是一个行列式等于 0 的方阵。

以下是关于奇异矩阵的详细通俗解释，包括它的数学性质、几何意义以及判定方法：

1. 核心定义

如果一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$ 满足以下条件，它就是奇异矩阵：
$$\det (A)=0$$
（即：矩阵 $A$ 的行列式为零）

2. 关键性质（怎么理解它？）

奇异矩阵有几个非常重要的等价性质，只要满足其中一条，它就是奇异矩阵：

• 不可逆（Not Invertible）： 奇异矩阵没有逆矩阵。也就是说，不存在一个矩阵 $B$，使得 $AB=I$（单位矩阵）。因此，奇异矩阵也被称为“不可逆矩阵”。
• 线性相关（Linearly Dependent）： 矩阵的行向量（或列向量）之间是线性相关的。
  • 通俗理解： 某一行可以由其他行通过加减乘除算出来。例如，第二行是第一行的 2 倍，或者第三行等于第一行加第二行。这意味着矩阵包含“冗余”信息。
• 秩亏（Rank Deficient）： 矩阵的秩（Rank）小于矩阵的维数 $n$。即 $\text{Rank}(A)<n$。
• 方程组解的情况：
  • 对于齐次方程组 $Ax=0$，奇异矩阵会有非零解（除了 $x=0$ 之外，还有无穷多组解）。
  • 对于非齐次方程组 $Ax=b$，要么无解，要么有无穷多解，绝不可能有唯一解。
• 特征值： 0 是该矩阵的一个特征值。

3. 简单的例子

考虑一个 $2\times$