ST表与RMQ（倍增表）

【概述】

RMQ : Range Maximum/minimum Query   这就是指区间最大或最小值（区间最值）

ST表：Spars Table，一种可以解决 RMQ 的，基于倍增的数据结构，利用 ST 算法预处理打出的表，称为 ST 表。

ST 算法：对于 RMQ 问题，给出 n 个数 m 次询问，每次询问区间最值，当 m 较小时，使用暴力即可解决，但随着 m 的增大，O(logn) 的的询问处理已经不够，需要 O(1) 的询问。而 ST 算法可以在 O(nlogn) 时间内进行预处理，然后在 O(1) 时间内回答每个查询，其实际上就是一种动态规划与打表的思想，缺点是不支持修改操作。

一、原理

       要在 O(1) 求出区间的最值，一个很自然的想法是用动态规划处理的方法，用 dp[i][j] 来记录从i 个数开始，长度为j的区间的最大值，这样显然有状态转移方程：dp[i][j]=max(dp[i][j-1],a[i+j-1])。

dp[][]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	5	5	7	7	12	12	12	12	12	15
2	3	7	7	12	12	12	12	12	15
3	7	7	12	12	12	12	12	15
4	2	12	12	12	12	12	15
5	12	12	12	12	12	15
6	1	6	6	8	15
7	6	6	8	15
8	4	8	15
9	8	15
10	15

        但这样预处理是 O(n*n) 的，所以还要进一步的优化。

        1、预处理（创建ST表）

        max 函数满足一个性质：允许区间重叠，即 max(i,j)=max( max(i,k) , max(k,j) )，也就是说，可以由两个较小的有重叠的区间，直接推出一个大区间，从而减少维护的区间数量。

例如：有数组A 为：5 3 7 2 12 1 6 4 8 15   则下表为该数组的ST表

F[ ][ ]	2^0=1	2^1=2	2^2=4	2^3=8
1	5	5	7	12
2	3	7	12	12
3	7	7	12	15
4	2	12	12
5	12	12	12
6	1	6	8
7	6	6	15
8	4	8
9	8	15
10	15

       DP的状态：采用倍增的思想，假设是要求数组A[i]的区间最值，F[i,j] 表示从第 i 个数起连续 2^j 个数中的最大值。

       F[1][0] 表示第 1 个数起，长度为 2^0=1 的最大值，其实就是 5。

       F[1][1] = max(5,3) = 5  表示第 1 个数起，长度为 2^1=2 的最大值，其实就是 5。

       F[1][2] = max(5,3,7,2) = 7  表示第 1 个数起，长度为 2^2=4 的最大值，其实就是 7。

       F[1][3] = max(5,3,7,2,12,1,6,4)=12表示第 1 个数起，长度为 2^3=8 的最大值，其实就是 12。

       F[2][2] = max(3,7,2,12)=12表示第 2 个数起，长度为 2^2=4 的最大值，其实就是 12。

       DP的初始值： 可以看出 F[i,0] = A[i]

       状态转移方程： 把 F[i][j] 平均分成两段 ( F[i][j] 一定是偶数个数字)，从 i 到 i+2^(j-1)-1 为一段，i+2^(j-1) 到 i+2^j-1 为一段，长度均为 2^(j-1)。

       于是得到F[i][j] = max( F[i] [ j-1] , F[i+2^(j-1) ] [j-1] ）

        F[3][2]=max(F[3][1],F[5][1])表示从第3个数起，长度为 2^2=4 的最大值，也就是长度为4的最大值，可以由前一列长度为2的两个最大值比较得出。

void ST_create()
{	for(int i = 1;i<=n;i++)F[i][0] = a[i];
	int k=log2(n);  //k=log(n)/log(2)
	for(int j = 1;j<=k;j++)
    {	for(int i = 1;i<=n-(1<<j)+1;i++)
        	F[i][j] = max(F[i][j-1],F[i+(1<<(j-1))][j-1]);	//前一列是跨多少长度，第二个数的行坐标就跨多少行	
	}
}

      2、查询

      假设要查询的区间为 (L,R)，那么需要找到覆盖这个闭区间 [L,R] 的最小幂。

      由于区间长度为 R-L+1，因此可以取 s=log2(R-L+1)，

      则有：RMQ(L, R) = max{ F[L][s] , F[ R-2^s+1][s] }

      例：要求区间 [1,5] 的最大值

      则有：s= log2(5-1+1) = 2

      则：RMQ(1,5) = max( F[1][2] , F[5-2^2+1][ 2]) = max(F[1][2] , F[2][2])

void ST_query(int l,int r)//求区间[l..r]的最值 
{	int s=log2(r-l+1);
    return  max(F[l][s],F[r-(1<<s)+1)][s]);	//取两个区间最值 
}

练习题：

模板题：洛谷P3865 【模板】ST 表

P2880 [USACO07JAN] Balanced Lineup G

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