RMQ问题之ST表

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数据结构和算法是计算机的灵魂，编写数据结构的代码，对学生代码能力的提升是巨大的，看到好几位NOI金牌得主的分享，很多选手都是在编写数据结构相关代码（线段树、平衡树等等，后期都会分享）中代码能力得到了巨大提升，因此数据结构尤为重要。之前分享过一篇数据结构的文章Trie树，欢迎大家阅读。

数据结构：Trie树（字典树）就是这么简单

0、概念梳理

RMQ（Range Minimum/Maximum Query）：区间最值查询。

ST（Sparse Table）表：稀疏表，不支持动态修改数组，适用于查找静态不变数组的最值问题。

位运算：我们熟知的幂运算，比如2^n，在c++中，我们可以通过位运算完成，即2^n 等价于 1<<n。

1、问题描述

2、方法一：暴力做法

暴力做法的思路和代码都很简单，题目询问哪个区间，就去遍历该区间，找最大值，时间复杂度为O(mn)，代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
// 暴力方法：每次询问区间[l, r]，遍历该区间找最大值 
using namespace std;
const int N = 1e5+7;
int n, m, l, r, a[N];
int query() {
    int maxn = a[l];
    // 万能找最大值/最小值模板，先令第一个元素最大/最小，然后遍历其他元素
    // 如果有比当前最大值/最小值更大的/更小的,那么更新当前最大值/最小值 
    for(int i=l+1; i<=r; i++) maxn = max(maxn, a[i]);
    return maxn;
}
?
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m); 
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", &a[i]); 
    while(m--) {
        scanf("%d%d", &l, &r); 
        printf("%d\n", query());
    }
    return 0;
}

很明显，只能拿部分分数，8个测试点超时了。

3、方法二：打表

f[i][j]表示区间[i,j]的最大值，可以通过已有的小区间 f值 填充更大的区间的 f值，从而完成对f数组的预处理，在m次询问环节，可以直接返回，时间复杂度为O(n^2)。

#include<bits/stdc++.h>
// 暴力方法：每次询问区间[l, r]，遍历该区间找最大值 
using namespace std;
const int N = 1e5+7;
int n, m, l, r, a[N];
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m); 
    int f[n+5][n+5]; // f[i][j]表示区间[i, j]的最大值 
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]); 
        f[i][i] = a[i];  // 初始化 
    }
    for(int i=1; i<n; i++) {
        for(int j=i+1; j<=n; j++) {
            f[i][j] = max(f[i][j-1], a[j]);  // 用子区间求当前区间的最大值 
        } 
    } 
    while(m--) {
        scanf("%d%d", &l, &r); 
        printf("%d\n", f[l][r]);
    }
    return 0;
}

4、方法三：ST 表

思考一下方法二，虽然用了f数组，但是递推式

f[i][j] = max(f[i][j-1], a[j])

相当于是一步一步推导出来的，依然是线性，那如果把区间一分为二，即可变成对数log级别，大大提高效率。

上面方法2中，f[i][j]表示区间[i,j]的最大值，现在重新定义f[i][j]：以i为起点，长度为2^j的区间，如此一来，f数组的第二维就很小了，比如方法二中的f数组第二维应该是n(n<=10^5)，由于是二维数组，所以整个数组的大小为10^10，这个数组占多少空间呢？（10^10 * 4） / （2^30）约等于37.3GB，但此时第二维的大小就是log2(n)，n取最大值10^5时，log2(n)也不会超过17，所占内存为：10^5 * 17 * 4 / 2^20 约等于6.5MB，省去很大空间。

那如何更新f数组呢？

最外层循环是长度，里层循环是起点，先更新所有长度为1的区间f[i][0]，

再更新所有长度为2的区间f[i][1]，然后是长度为4的区间f[i][2], 长度为8的区间f[i][3]......

那么f[i][j]表示起点为i，长度为2^j的区间，可以把这个区间一分为2，两个子区间的长度均为2^(j-1)，此时左区间的端点不变，依然是i，那么可以通过左区间的左端点和左区间的长度，计算出右区间的左端点，右区间的左端点等于 左区间的左端点+左区间的长度，即等于 i + 2^(j-1)，用c++的位运算可以写成 i+(1<<j-1)，此时左区间的最大值为f[i][j-1]， 右区间的最大值为f[i+(1<<j-1)][j-1]，因此：

f[i][j] = max(f[i][j-1], f[i+(1<<j-1)][j-1]);

比如任意一个区间，[3,13]，要计算这个区间的最大值，如何用上面的f数组表示呢？

f[3][3]表示的是以3为起点，长度为8（2^3）的区间（即区间[3,10]）中的最大值。

f[6][3]表示的是以6为起点，长度为8（2^3）的区间（即区间[6,13]）中的最大值。

那么区间[3,13]中的最大值等于max(f[3][3], f[6][3])，所以可以通过O(1)的复杂度计算出区间的最大值。

因此对于任意一个区间，我都可以找到两个可能会重合的子区间来表示。那么到底是怎么找的呢？

比如对于一个区间[x, y]，如何用刚才那种方式找到两个子区间呢？

步骤如下：

1、首先计算区间长度len = y - x + 1;

2、计算对数 j = (int)log2(len); 并向下取整转为int；

3、第一个区间为：[x, x+2^j]，这个区间的最大值就是f[x][j]；

4、第二个区间为：[y - 2^j + 1, y]，这个区间的最大值就是f[y - 2^j + 1][j]，所以区间[x, y]的最大值为：max(f[x][j], f[y - 2^j + 1][j])。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+7, T = 18;
int n, m, l, r, a[N], f[N][T];

int query() {
    int len = r - l + 1;
    int j =(int)log2(len);  // log2 函数在cmath库中
    // 两个区间可以重叠，不影响max 和 min 
    return max(f[l][j], f[r-(1<<j)+1][j]); 
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m); 
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]); 
        f[i][0] = a[i];  // 初始化以i为起点，长度为1的区间的最大值，即为a[i]本身 
    }
    for(int j = 1; j <= (int)log2(n); j++) {
        int tmp = (1<<j)-1;
        for(int i = 1; i + tmp <= n; i++) {
            // 计算以i为起点，长度为2^j的区间的最大值
            f[i][j] = max(f[i][j-1], f[i+(1<<j-1)][j-1]);
        }
    }
    while(m--) {
        scanf("%d%d", &l, &r); 
        printf("%d\n", query());
    }
    return 0;
}

ST表的预处理时间复杂度为O(nlogn)，查询时间复杂度为O(1)。