RMQ详解（ST表）

RMQ详解

RMQ算法， 是一个快速求出区间最值的算法，预处理时间复杂度为O(n*log(n))，查询为O(1)。

著名的ST算法就是倍增的产物。给定一个长度为N的数列A，ST算法能在O(n*logn)时间的预处理后，以O(1)的时间复杂度在线回答“数列A中下标在（l~r）之间的数的最大值是多少”这样的区间最值问题。

预处理：

设F[i][j]表示数列A从第i个数起连续$2^j$个数（[$i,i+2^j-1$]）中的最大值。递推边界是F[i][0] = A[i]，即数列A在区间[i,i]里的最大值。

在递推时，我们把子区间的长度成倍增加，即长度为$2^j$的子区间最大值是左右两半长度为$2^{j-1}$的子区间的最大值中较大的一个。即$F[i][j]=max(F[i][j-1],F[i+2^{j-1}][j-1])$

例如：

A数组为： 3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1,0]表示从第1个数起，长度为$2^0=1$的最大值，即3这个数。同理$F[1,1]=max(3,2)=3$, $F[1,2]=max(3,2,4,5)=5$, $F[1,3]=max(3,2,4,5,6,8,1,2)=8$;

F[i,0]就等于A[i] （DP的初始值）

我们把F[i , j]平均分成两段（因为区间内一共有偶数个数字），从$i$到$i+2^{j-1}-1$为一段，$i+2^{j-1}$到$i+2^{j-1}$为另一段。（长度都为$2^{j-1}$）。当i=1，j=3时就是3，2，4，5和6，8，1，2这两段。F[i, j]就是这两段中最大值的最大值。

状态转移方程为：$F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^{j-1},j-1])$。

代码：

void RMQ(int num) //预处理->O(nlogn)
{
    for(int j = 1; j < 20; ++j)    // 这里j的范围根据具体题目数据定义
        for(int i = 1; i <= num; ++i)    // num为数组内整数的个数
            if(i + (1 << j) - 1 <= num)
            {
                maxsum[i][j] = max(maxsum[i][j - 1], maxsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
                minsum[i][j] = min(minsum[i][j - 1], minsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
            }
}

查询：

假如我们需要查询的区间为[i, j]，那么我们需要找到覆盖这个闭区间（左边界取i,右边界取j）。可以重复，比如查询5，6，7，8，9，我们可以查询5678和6789.

因为这个区间的长度为j - i + 1，所以我们可以取$k=lo{g}_2(j-i+1)$，则有$F[i,j]=max(F[i,k],F[j-2^k+1,k])$。
例如：要求区间[2, 8]的最大值，$k=lo{g}_2(8-2+1)=2$，即求$max(F[2,2],F[8-2^2+1,2])=max(F[2,2],F[8-2^2+1,2])=max(F[2,2],F[5,2])$

代码：

int query(int l, int r)
{
	int k = log(r-l+1) / log(2);
	return max(F[l][k], F[r - (1<<k) + 1][k]);
}

例题：

POJ-3264 Balanced Lineup