离散数学入门级概念：集合、关系、元组

习题1{0,1,{0,1},{1,2}}有几个元素？机器学习中，这类形式的集合有什么有点合缺点？

答：如果一个集合S中恰有n(n≥0)个不同的元素，我们就说S是有限集，而n是S的基数。S的基数记为∣S∣。集合{0,1,{0,1},{1,2}}有4个元素，基数为4。

优点：集合对元素类型或顺序没有要求，集合中可以包含多种数据类型。

缺点：集合内的数据类型多样且无序，处理起来较麻烦

习题2：∅的基数是多少？{∅}

答：一个常见的错误是混淆空集∅和单元素集合{∅}。空集∅表示的是一个特殊的不含任何元素的集合。所以空集的基数为0；集合{∅}的唯一元素是空集本身！考虑计算机文件系统中的文件夹做一个类比有助于记住这个区别。空集可以比做一个空的文件夹，而仅包含一个空集的集合可以比做一个文件夹里只有一个文件夹，即空文件夹。

习题5：多标签学习中，输出为一个向量，相应的学习器算不算函数呢？

答：多标签的学习器算函数。多标签学习是指对一个样本同时预测出多个类别标记，例如一副图画可同时标注为”蓝天“、”白云“、”羊群“、”自然场景“,乍一看多标签学习好像由同一个输入得到了多个输出。其实不然，多标的输出是一个向量，向量的每一个维度代表了不同的输出，可以把每一个维度都当作一个函数，同一个输入，经过不同的函数处理，得到每一个维度唯一的输出，是符合函数的定义的，所以多标签学习器算函数。

习题6：元组只能表达对象的数据部分, 还是可以完整地表达 (既包括数据, 也包括方法/函数)? 用一个具体的程序来说明.

答：一个元组可以看作是一个类，不仅可以表达对象的数据，也可以表达对象的方法

​public class Human {
     public Head head;//头
     public Body body;//身体
     public Hand [] hands;//手的集合
     public Leg [] legs;//腿的集合
     public int age;//人的年龄
     public boolean gender;//性别
    //人可以跑
    public void run(){
         //跑的快慢
     }
     //人要吃饭
    public void eat(){
        //吃的有多有少
    }
    //...
}
class Head{
     //头有眼睛、鼻子、耳朵...
}
class Body{
    //身体有胖有瘦
}
class Hand{
    //手有长有短
}
class Leg{
    //腿有长有短
}

习题 7: 定义二叉树.

Definition 7.Let Σ = { l , r } \Sigma=\lbrace l,r\rbrace Σ={l,r} be the alphbet and $\varnothing$ be a null node. A binary tree is a triple $T=(V,r,c)$,where V = { v 1 , v 2 . . . , v n } V=\lbrace v_1,v_2...,v_n\rbrace V={v1​,v2​...,vn​} is the set of nodes $r\in V$ is the root and c : V ∪ { ∅ } × Σ + → V ∪ { ∅ } c:V\cup\lbrace\empty\rbrace\times\Sigma^+\to V\cup\lbrace\empty\rbrace c:V∪{∅}×Σ+→V∪{∅} satisfying
a) $c(\varnothing ,l)=c(\varnothing ,r)=\varnothing$;
b) ∀ v ∈ V \ { r } \forall v \in V\backslash\lbrace r\rbrace ∀v∈V\{r},$s\in {\Sigma }^{+}$ st. $c(r,s)=v$;
c)$\forall v\in V$,$!\exists s\in {\Sigma }^{+}$ st.$c(v,s)=v$

习题 8: 定义带权无向图.

答：Difinition. $A$ weighted undirected graph is a tuple$G_w=(V,E,w),$where V = { v 1 , v 2 . . . v n } V= \lbrace v_1,v_2...v_n \rbrace V={v1​,v2​...vn​} is the set of nodes,$E\subseteq V\times V$ is the set of edge, and $⟨v_i,v_j⟩\in E$ iff $⟨v_i,v_j⟩\in E$, w : V × V → R + ∪ { 0 } w:V\times V\to R^+\cup\lbrace 0\rbrace w:V×V→R+∪{0} is the edge weight.

习题 9. 考虑 $\varphi$, 重新写 Definition 7 以解决其存在的问题, 见其讨论 d).

Definiton 7.A tree is a triple $T=(V,r,p)$,where V = { v 1 , . . . v n } ∪ { ϕ } V=\lbrace v_1,...v_n\rbrace\cup\lbrace\phi\rbrace V={v1​,...vn​}∪{ϕ} is the set of nodes,$r\in V$ is the root, and p : V \ { r } → V p:V\backslash \lbrace r\rbrace\to V p:V\{r}→V is the parent function satisfying
a) $\forall k\ge 1,p^k(v)\ne v,and$
b) ∀ v ∈ V \ { r } , ∃ \forall v \in V\backslash \lbrace r\rbrace,\exist ∀v∈V\{r},∃ 1$k\ge 1,$st.$p^k(v)=r$
c)if r ∈ { ϕ } r\in \lbrace \phi \rbrace r∈{ϕ}, $p(r)=\varphi$

习题 3.1 模仿自动机的样子来重新定义二叉树.

Definition 8：A binary tree is a 5-tuple $T=(\Sigma ,Q,q_0,M,f)$, where Σ = { l , r } \Sigma=\lbrace l,r\rbrace Σ={l,r}, Q = { v 1 , . . . . , v n } ∪ { ϕ } Q=\lbrace v_1,....,v_n\rbrace\cup\lbrace \phi\rbrace Q={v1​,....,vn​}∪{ϕ}, { v 1 , . . . , v n } \lbrace v_1,...,v_n\rbrace {v1​,...,vn​} is the set of nodes, q 0 ∈ { v 1 , . . . , v n } q_0\in \lbrace v_1,...,v_n\rbrace q0​∈{v1​,...,vn​} is the root, M ∈ { ϕ } M\in\lbrace \phi\rbrace M∈{ϕ}and $f:Q\times {\Sigma }^{\ast }\to Q$ satisfying ∀ v ∈ Q \ { ϕ } , ∃ 1 s ∈ Σ ∗ \forall v\in Q\backslash \lbrace\phi\rbrace,\exists1 s\in \Sigma^* ∀v∈Q\{ϕ},∃1s∈Σ∗ st. $f(q_0,s)=v$.

习题3.2 模仿自动机的样子来重新定义树.

Definition 9：A tree is a 5-tuple $T=(\Sigma ,Q,q_0,M,f)$, where Σ = { 1 , . . . , n } \Sigma = \lbrace 1,...,n\rbrace Σ={1,...,n}, Q = { v 1 , . . . . , v n } ∪ { ϕ } Q=\lbrace v_1,....,v_n\rbrace\cup\lbrace \phi\rbrace Q={v1​,....,vn​}∪{ϕ}, { v 1 , . . . , v n } \lbrace v_1,...,v_n\rbrace {v1​,...,vn​} is the set of nodes, q 0 ∈ { v 1 , . . . , v n } q_0\in \lbrace v_1,...,v_n\rbrace q0​∈{v1​,...,vn​} is the root, M ∈ { ϕ } M\in\lbrace \phi\rbrace M∈{ϕ} and $f:Q\times {\Sigma }^{\ast }\to Q$ satisfying ∀ v ∈ Q \ { ϕ } , ∃ 1 s ∈ Σ ∗ \forall v\in Q\backslash \lbrace\phi\rbrace,\exists1 s\in \Sigma^* ∀v∈Q\{ϕ},∃1s∈Σ∗ st. $f(q_0,s)=v$.
Σ = { 1 , . . . , n } \Sigma =\lbrace 1,...,n\rbrace Σ={1,...,n} ，其中1到n代表了n叉树的节点从左到右的n条分支.