机器学习的数据基础习题回答

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1. 集合、关系、元组

习题 1.1: { 0 , 1 ， { 0 , 1 } ， { 1 , 2 } } \{0,1，\{0,1\}，\{1,2\}\} {0,1，{0,1}，{1,2}}有几个元素? 机器学习中, 这类形式的集合有什么优点和缺点?

1.有$4$个元素，分别为 0 , 1 ， { 0 , 1 } ， { 1 , 2 } 0,1，\{0,1\}，\{1,2\} 0,1，{0,1}，{1,2}
2.优点：在标签分类学习中，集合的每一个元素代表一类。在传统的单标签分类中，训练集中的每一个样本只有一个相关的标签，这里的标签就可以是题目集合中的$0,1$等数字，这个标签来自于一个不重合的标签集合。而对于多标签分类，采用题目中的形式的集合就可以表示含有多个标签的样本，如 { 0 , 1 } \{0,1\} {0,1}、 { 1 , 2 } \{1,2\} {1,2}。当然这种方式也存在缺点，标签的增加会导致信息量增加，数据处理更加繁琐等。

习题 1.2: $\varnothing$ 的基数是多少? { ∅ } \{\emptyset\} {∅}呢?

$\varnothing$ 为空集，因此基数为$0$。 { ∅ } \{\emptyset\} {∅}表示包含一个元素的集合，这个元素为$\varnothing$，因此基数为$1$.

习题 1.3: 多标签学习中, 输出为一个向量，相应的学习器算不算函数呢?

我认为算是函数。多标签学习中输出的一个向量是属于一个不重合的标签集合的，这个集合相对于是函数的值域，而所有样本组合起来的集合则是函数定义域。定义域中每一个样本在值域中都有一个唯一的向量与其对应，因此算是函数。

习题 1,4: 元组只能表达对象的数据部分, 还是可以完整地表达 (既包括数据, 也包括方法/函数)? 用一个具体的程序来说明.

可以完整表达

public class Child<N, G, A> {

    private N name;
    private G gender;
    private A age;

    public Child(N name, G gender, A age) {
    	super();
        this.name = name;
        this.gender = gender;
        this.age = age;
    }

    public N getName() {
		return name;
	}
	public G getGender() {
		return gender;
	}
	public A getAge() {
		return age;
	}

}

习题 1,5: 定义二叉树.

Let Σ = { l , r } \Sigma = \{\mathrm{l}, \mathrm{r}\} Σ={l,r} be the alphbet and $\varphi$ be a null node. A binary tree is a triple $T=(\mathbf{V},r,c)$, where V = { v 1 , … , v n } \bm{V} = \{v_1, \dots, v_n\} V={v1​,…,vn​} is the set of nodes, $r\in \mathbf{V}$ is the root, and c : V ∪ { ϕ } × Σ ∗ → V ∪ { ϕ } c: \bm{V} \cup \{\phi\} \times \Sigma^* \to \bm{V} \cup \{\phi\} c:V∪{ϕ}×Σ∗→V∪{ϕ} satisfying
$\forall v\in \mathbf{V}$, $\exists 1$ $s\in {\Sigma }^{\ast }$ st. $c(r,s)=v$.

习题 1.6: 定义带权无向图.

A weighted undirected graph is a tuple $G_w=(\mathbf{V},E,w)$ ，where V = { v 1 , … , v n } \mathbf{V} = \{v_1, \dots, v_n\} V={v1​,…,vn​} is the set of nodes，$\mathbf{E}\subseteq \mathbf{V}\times \mathbf{V}$ is the set of edge，$⟨v_i,v_j⟩\in \mathbf{E}$iff$⟨v_j,v_i⟩\in \mathbf{E}$, and w ⊆ R + ∪ { 0 } w \subseteq \mathbb{R}^+ \cup \{0\} w⊆R+∪{0} is the edge weight.

2. 字母表、二叉树、树

习题 9. 考虑 $\varphi$, 重新写 Definition 6 以解决其存在的问题, 见其讨论 d).

Definition 6. A tree is a triple $T=(\mathbf{V},r,p)$，where V = { v 1 , … , v n } \mathbf{V} = \{v_1, \dots, v_n\} V={v1​,…,vn​} is the set of nodes，$r\in \mathbf{V}$ is the root, and p : V ∖ { r } → V p: \mathbf{V} \setminus \{r\} \rightarrow \mathbf{V} p:V∖{r}→V is the parent function satisfying
a) $\forall k\ge 1$, $p^k(v)\ne v$, and
b) ∀ v ∈ V ∖ { r } \forall v \in \mathbf{V} \setminus \{r\} ∀v∈V∖{r}, $\exists 1k\ge 1$, st. $p^k(v)=r$.

A tree is a triple $T=(\mathbf{V},r,p)$，where V = { v 1 , … , v n } \mathbf{V} = \{v_1, \dots, v_n\} V={v1​,…,vn​} is the set of nodes，$r\in \mathbf{V}$ is the root, and $p:\mathbf{V}\to \mathbf{V}$ is the parent function satisfying
a) $\forall k\ge 1$, $p^k(v)\ne v$, and;
b) ∀ v ∈ V ∖ { r } \forall v \in \mathbf{V} \setminus \{r\} ∀v∈V∖{r}, $\exists 1k\ge 1$, st. $p^k(v)=r$;
c) $p(r)=\varphi$, $p(\varphi )=\varphi$.

3. 有限状态自动机

习题 3.1 模仿自动机的样子来重新定义二叉树.

A binary tree is a 5-tuple $T=(\Sigma ,{\mathbf{V}}^{\prime },\mathbf{r},\mathbf{\varphi },c)$, where
a)$\Sigma$ is the alphabet, Σ = { l , r } \Sigma = \{\mathrm{l}, \mathrm{r}\} Σ={l,r} ;
b)${\mathbf{V}}^{\prime }$ is the set of states, V ′ = V ∪ { ϕ } \bm{V'}=\bm{V} \cup \{\phi\} V′=V∪{ϕ}, V = { v 1 , … , v n } \mathbf{V} = \{v_1, \dots, v_n\} V={v1​,…,vn​} ;
c)$r\in {\mathbf{V}}^{\prime }$ is the root;
d)$\varphi \in {\mathbf{V}}^{\prime }$ is the terminal states;
e)$c:{\mathbf{V}}^{\prime }\times {\Sigma }^{\ast }\to {\mathbf{V}}^{\prime }$ is the transition function, satisfying $\forall v\in \mathbf{V}$, $\exists 1$ $s\in {\Sigma }^{\ast }$ st. $c(r,s)=v$.

习题 3.2 模仿自动机的样子来重新定义树.

A tree is a 5-tuple $T=(\Sigma ,{\mathbf{V}}^{\prime },\mathbf{r},\mathbf{\varphi },p)$, where
a)$\Sigma$ is the alphabet, Σ = { k } \Sigma= \{k\} Σ={k} ;
b)${\mathbf{V}}^{\prime }$ is the set of states, V ′ = V ∪ { ϕ } \bm{V'}=\bm{V} \cup \{\phi\} V′=V∪{ϕ}, V = { v 1 , … , v n } \mathbf{V} = \{v_1, \dots, v_n\} V={v1​,…,vn​} ;
c)$r\in {\mathbf{V}}^{\prime }$ is the root;
d)$\varphi \in {\mathbf{V}}^{\prime }$ is the terminal states;
e)$p:{\mathbf{V}}^{\prime }\times {\Sigma }^{\ast }\to {\mathbf{V}}^{\prime }$ is the transition function, satisfying $\forall v\in \mathbf{V}$, $\exists 1$ $s\in {\Sigma }^{\ast }$ st. $c(v,s)=r$.
这里树用p函数还是用c函数有点不确定。