离散数学入门级概念理解：集合、关系、元组

离散数学

本文主要是对minfanphd的博客中的概念以及相应习题进行作答，欲知详细内容请点击该链接。

概念：

大概了解一下离散数学的研究对象，离散数学（Discrete mathematics）是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。离散的含义是指不同的连接在一起的元素，主要是研究基于离散量的结构和相互间的关系，其对象一般是有限个或可数个元素。

习题 1: { 0 , 1 , { 0 , 1 } , { 1 , 2 } } 有几个元素? 机器学习中, 这类形式的集合有什么优点和缺点?

答：一个集合内所有元素的个数称为基数(cardinal number)，因此若A={ 0 , 1 , { 0 , 1 } , { 1 , 2 } } ，那么|A|=4(cardA=4)。优点是可以存入各种数据类型，缺点是数据难以统一，可能同时存在多种数据，因此处理起来比较麻烦。

习题 2: ∅的基数是多少? { ∅ } 呢?

答：前者为空集，因此基数为0；后者则是以空集作为一个元素，基数为1.

习题 5: 多标签学习中, 输出为一个向量，相应的学习器算不算函数呢?

答：算，在多标签学习中，我认为定义域相当于是笛卡尔集，均在值域中能够找到唯一的向量与之对应.

习题 6: 元组只能表达对象的数据部分, 还是可以完整地表达? 用一个具体的程序来说明.

答：可以完整的表达，代码如下：

class TupleClass:
    name = "tuple"
    size = -1
    id = 123456

test = TupleClass()
tuple1 = (test.name,test.size,test.id)
print(tuple1)

习题 7: 定义二叉树.

答：首先先看看树的定义，这是由闵老师定义的：

Definition 7. A tree is a triple $T=(V,r,p)$, where V = { v 1 , … , v n } V=\{v_1,\dots,v_n\} V={v1​,…,vn​}is the set of nodes, $r\in V$ is the root, and p : V ∖ { r } → V p:V\setminus \{r\}\to V p:V∖{r}→V is the parent function satisfying.
a)$\forall k\ge 1,p^k(v)\ne v$, and
b) ∀ v ∈ V ∖ { r } , ∃ 1 k ≥ 1 \forall v \in V\setminus \{r\},\exists1 k\geq1 ∀v∈V∖{r},∃1k≥1,st.$p^k(v)=r$.
几点说明:
a) $\exists 1$ 表示 “存在唯一”.
b) 条件 a) 表示没有环, 条件 b) 表示连通到根节点.
c) $p^1(v)=p(v),p^k(v)=p(p^{k-1}(v))$. 数学上一般这样约定, 所以在定义里面没写.
d) $p(r)$是没有定义的, 所以 $p^k$的$k$值有上限, 由于不存在歧义, 也没写.

经由闵老师与其它同学的讨论得出以下定义

Definition. Let Σ = { l , r } \Sigma = \{\mathrm{l}, \mathrm{r}\} Σ={l,r} be the alphbet and $\varphi$ be a null node. A binary tree is a triple $T=(\mathbf{V},r,c)$, where V = { v 1 , … , v n } \bm{V}=\{v_1,\dots, v_n\} V={v1​,…,vn​} is the set of nodes, $r\in \mathbf{V}$ is the root, and c : V ∪ { ϕ } × Σ + → V ∪ { ϕ } c:\bm{V}\cup\{\phi\}\times\Sigma^+\to \bm{V}\cup\{\phi\} c:V∪{ϕ}×Σ+→V∪{ϕ} satisfying
a)$c(\varphi ,\mathrm{l})=c(\varphi ,\mathrm{r})=\varphi$;
b) ∀ v ∈ V ∖ { r } , ∃ 1 s ∈ Σ + \forall v\in \bm{V}\setminus\{r\},\exists 1 s\in\Sigma^+ ∀v∈V∖{r},∃1s∈Σ+ st.$c(r,s)=v$;
c)$\forall v\in \mathbf{V},!\exists s\in {\Sigma }^{+}$ st. $c(v,s)=v$.

习题 8: 定义带权无向图.

答：

Definition. A weighted undirected graph is a tuple $G_w(\mathbf{V},\mathbf{E},\omega )$ ,where V = { v 1 , … , v n } \bm{V} = \{v_1, \dots, v_n\} V={v1​,…,vn​} is the set of nodes, and $\mathbf{E}\subseteq \mathbf{V}\times \mathbf{V}$ is the set of edges, and ω : V × V ↦ R ∪ { 0 } \omega:\bm{V}\times\bm{V}\mapsto \R\cup\{0\} ω:V×V↦R∪{0} is the edge weight function,and $⟨v_i,v_j⟩\in \mathbf{E}$ iff $⟨v_j,v_i⟩\in \mathbf{E}$

习题 9. 考虑$\varphi$, 重新写 Definition 7 以解决其存在的问题, 见其讨论 d).

答：

Definition 7. A tree is a triple $T=(\mathbf{V},r,p)$ and $\varphi$ be a null node, where V = { v 1 , … , v n } \bm{V}=\{v_1,\dots,v_n\} V={v1​,…,vn​}is the set of nodes, $r\in \mathbf{V}$ is the root, and p : V ∖ { r } → V p:\bm{V}\setminus \{r\}\to \bm{V} p:V∖{r}→V is the parent function satisfying.
a)$\forall k\ge 1,p^k(v)\ne v$, and $p^k(v)=\varphi$ iff v = { ϕ } v=\{\phi\} v={ϕ},
b) ∀ v ∈ V ∖ { r } , ∃ 1 k ≥ 1 \forall v \in \bm{V}\setminus \{r\},\exists 1k\geq1 ∀v∈V∖{r},∃1k≥1,st.$p^k(v)=r$.

习题 3.1 模仿自动机的样子来重新定义二叉树.

确定的有穷状态自动机定义如下:

A deterministic finite state automata (DFA) is a 5-tuple $M=(\Sigma ,\mathbf{Q},{\mathbf{q}}_0,\mathbf{T},f)$, where
a) $\Sigma$ is the alphabet;
b) $\mathbf{Q}$ is the set of states;
c) ${\mathbf{q}}_0\in \mathbf{Q}$ is the start state;
d) $\mathbf{T}\subseteq \mathbf{Q}$ is the set of terminal states;
e) $f:\mathbf{Q}\times {\Sigma }^{\ast }\to \mathbf{Q}$ is the transition function.
Any $s\in {\Sigma }^{\ast }$ is accepted by the automata iff $f({\mathbf{q}}_0,s)\in \mathbf{T}$.

说明:
a) DFA 的开始状态只有一个, 因此为$\mathbf{Q}$ 的元素;
b) DFA 的终止状态可以有多个, 因此为$\mathbf{Q}$ 的子集;
c) DFA 的基础目标是看状态 $s$ 是否合法 (被接受).

如果将二叉树看作是一个自动机, 它包括如下几个方面:
a) 有一个字母表, 即$(\mathrm{l},\mathrm{r})$, 完美;
b) 有一个状态集合, 包括所有节点与空节点, 完美;
c) 有一个开始状态, 即根节点 $r$, 完美;
d) 有一个终止状态, 即空节点 $\varphi$, 这里稍微有一点不同, 稍后重点讨论;
e) 从任一状态读入任一字母, 确定地转移到下一状态 (可以是自己), 这个用状态转移函数来描述，完美.

从如上 5 点分析可以看出, 二叉树在其中 4 点都与自动机完全契合, 唯一有问题的是终止状态. 二叉树本身没有一个“判断字符串是否合法”的目标，因此不存在终止状态. 但它又有一个特殊的状态, 即 $\varphi$.

通过以上的定义，可以重新用自动机定义二叉树：

A binary tree is a 5-tuple $T=(\Sigma ,\mathbf{V},r,\varphi ,c)$, where
a) $\Sigma$ is the alphabet: { l , r } \{\mathrm{l}, \mathrm{r}\} {l,r};
b) $\mathbf{V}$ is the set of node;
c) $r\in \mathbf{V}$ is the root;
d) $\varphi$ is the set of terminal states;
e) c : V ∪ { ϕ } × Σ + → V ∪ { ϕ } c:\bm{V}\cup\{\phi\}\times\Sigma^+\to \bm{V}\cup\{\phi\} c:V∪{ϕ}×Σ+→V∪{ϕ} is the transition function.
Exists 1$s\in {\Sigma }^{+}$ is accepted by the automata iff c ( r , s ) ∈ V ∖ { r } c(r, s) \in \bm{V}\setminus\{r\} c(r,s)∈V∖{r}.

习题3.2 模仿自动机的样子来重新定义树.

如果将树看作是一个自动机, 它包括如下几个方面:
a) 有一个状态集合, 包括所有节点与空节点,;
b) 有一个开始状态, 即非根节点 $v$,;
c) 有一个终止状态, 即根节点 $r$;
d) 从任一状态都可以连通到根节点，因此用状态转移函数来描述.

A tree is a 4-triple $T=(\mathbf{V},v,r,p)$, where
a) $\mathbf{V}$ is the set of nodes;
b) v ∈ V ∖ { r } v\in \bm{V}\setminus \{r\} v∈V∖{r} is the start node;
c) $r\in \mathbf{V}$ is the root and the terminal state;
d) p : V ∖ { r } → V p:\bm{V}\setminus \{r\}\to \bm{V} p:V∖{r}→V is the transition function.
$\forall k\ge 1,p^k(v)\ne v$, and $p^k(v)=\varphi$ iff v = { ϕ } v=\{\phi\} v={ϕ};
∀ v ∈ V ∖ { r } , ∃ 1 k ≥ 1 \forall v \in \bm{V}\setminus \{r\},\exists 1k\geq1 ∀v∈V∖{r},∃1k≥1,st.$p^k(v)=r$.

仅供参考，正确性还未知。