离散数学01入门级概念：集合、关系、元组

链接: link.

1.1朴素定义

概念的内涵和外延：任何一个概念都有内涵和外延,这是概念的基本特征。外延指所反应对象的具体范围、具体事物。内涵指概念所反应的特征和本质属性。

习题 1: { 0 , 1 , { 0 , 1 } , { 1 , 2 } } 有几个元素? 机器学习中, 这类形式的集合有什么优点和缺点?

答：其中包括4个元素，其中{0,1}，{1,2}本身为一个集合。
优点：以上集合可以应用到多标签学习中，每一个实例可能有一个或者多个标签，则可以用集合中的元素来表示实例带有的标签。
缺点：由于集合中元素复杂程度不一致，处理集合中数据更复杂，需要考虑每一个元素的类型、维度等。

1.2基数

自然数集合N的基数记作

实数集R的基数记作

有穷和无穷：一个集合是有穷的当且仅当它与某个自然数等势，反之无穷。
可数集：设A为集合, 若∣A∣小于N的基数, 则称A为可数集或可列集。

习题 2: $\varnothing$的基数是多少?{ $\varnothing$ } 呢？

答：为空集，空集的基数为0；基数为1，其中有一个元素即空集

1.2笛卡尔积

有序对：两个元素$x,y$按照一定顺序排列成的二元组，记作$（x,y）$，$x$为第一元素，$y$为第二元素。
笛卡尔积：A,B为集合，用A中元素作为第一元素，B中元素作为第二元素构成有序对的集合，记作$A\times B$。

1.3幂集

幂集：就是原集合中所有的子集（包括全集和空集）构成的集合

def powerSet(l):
   if len(l) != 1:
       l1=l[:len(l)-1]
       elem=l[len(l)-1]
       temp=powerSet(l1)
       temp1=[]
       for i in temp:
           temp1.append(i+[elem])
       return temp+temp1
   return [[],l]

l=[1,2]
print(powerSet(l))
#输出 [[], [1], [2], [1, 2]]

2.二元关系

设$\mathbf{A},\mathbf{B}$为集合,$\mathbf{A}\times \mathbf{B}$的任何子集所定义的二元关系叫做从$\mathbf{A}$到$\mathbf{B}$的二元关系, 当$\mathbf{A}$=$\mathbf{B}$时则叫做$\mathbf{A}$上的二元关系。

3.函数

习题 5: 多标签学习中, 输出为一个向量，相应的学习器算不算函数呢?

多标签学习：传统监督学习主要是单标签学习，而现实生活中目标样本往往比较复杂，具有多个语义，含有多个标签。比如一个病人的体检报告可能会有多个标签,高血压、糖尿病等。
我认为多标签学习中相应的学习器算函数，其中定义域为实例集，值域为通过学习器得到的标签向量，并且一个实例通过学习器会得到一个确定的标签向量。

4.元组

元组也是Python中的一种数据结构，用（）表示，内容用逗号分隔；可通过索引进行访问；属于不可变序列，不能够进行增删改操作，但是若元组中存在可变序列，则可对该可变序列进行修改。

习题 6: 元组只能表达对象的数据部分, 还是可以完整地表达 (既包括数据, 也包括方法/函数)? 用一个具体的程序来说明.

可以完整表达，元组就是一个类，其中各个成员变量可以取不同的定义域, 可以是数值、字符、集合。

t1=(10,20)
def f(x,y):
    return x+y

t=(100,200,'字符串',t1,f(t1[0],t1[1]),range(10))
print(t)

#输出 (100, 200, '字符串', (10, 20), 30, range(0, 10))

5.树与图

习题8：定义带权无向图

A weighted undirected graph is a tuple$G_w=(\mathbf{V},w)$,where   V = { \ \rm \bf V=\lbrace  V={ $v_1,...,v_n\}$ is the set of nodes,and w : V × V → R + ∪ { 0 } w:{\rm \bf V}×{\rm \bf V} \rightarrow \mathbb R^+\cup \lbrace0\rbrace