9、线性代数基础示例与多项式求值方法

线性代数基础示例与多项式求值方法

在科学计算和工程应用中，线性代数是解决许多问题的基础工具。本文将深入探讨一些基本的线性代数示例以及多项式求值的相关算法，包括矩阵乘法、LU 分解、多项式求值和三对角线性系统的求解等内容。

1. 矩阵乘法与循环优化

矩阵乘法是线性代数中常见的运算，以下是一个简单的矩阵乘法代码示例：

for (i=0;i<n;i++){ /* mxm by outer product */
    for (j=0;j<n;j++){
        c[i][j]=0.;
    }
    for (k=0;k<n;k++){
        for (j=0;j<n;j++){
            c[i][j] += a[i][k]*b[k][j];
        }
    }
}

通过观察可以发现，将第 i 行初始化为第一个 $a_{i0}b_{0*}$ 而非零可能会更有效。这里的内层循环实际上是一个 saxpy 操作，通过循环反转技巧可以提高效率，这也是共享内存并行性的核心。

2. SGEFA：Unpack 基准测试

Linpack 基准测试是最著名的计算机浮点性能测试之一，其核心操作是 LU 分解：
$PA = LU$
其中，L 是单位对角线下三角矩阵（对角线元素不存储），U 是上三角矩阵（对角线元素存储），P 是置换矩阵，允许进行原地分解并使用部分主元法。

以下是 SGEFA 的并行 C 版本代码：